Lo que la intuición está detrás de diferenciación implícita

Question

Estoy tratando de que se entienda implícita diferenciación

Tomemos un ejemplo de ecuación y^2 + x^2 = 1

1. Lo que yo pienso acerca de cómo la ecuación de obras

Creo que la función como : si x cambia entonces el plazo y, de mantener el valor de "y^2 + x^2" es igual a 1. Por lo tanto, la ecuación que define un conjunto de números x cordinates y y cordinates.

2. Lo que yo pienso acerca de cómo differentate la ecuación

1. Si quiero saber la forma de la ecuación de cambios como x cambios, me estoy tomando derivada con respecto a x
2. $\frac{d}{dx}y^2+\frac{d}{dx}x^2=\frac{d}{dx}1$
3. Podemos considerar $y$ como una función, $y = f(x)$
4. Por lo tanto: $\frac{d}{dx}(f(x))^2+\frac{d}{dx}x^2=\frac{d}{dx}1$
5. Se puede calcular como (f(x))^2 cambios como f(x) cambia, usando la regla de la cadena.
6. $\frac{df(x)}{dx}\frac{d}{df(x)}(f(x))^2+\frac{d}{dx}x^2=\frac{d}{dx}1$
7. Esto es igual a: $2f(x)\frac{df(x)}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}x^2=\frac{d}{dx}1$
8. Como $x$ cambios, $x^2$ cambios como $2x$, por lo $2f(x)\frac{df(x)}{dx}f(x)+2x=\frac{d}{dx}1$
9. Como x cambia, 1 no cambia, por lo tanto es 0. $2f(x)\frac{df(x)}{dx}f(x)+2x=0$
10. No sabemos derivado de la $f(x)$ pero podemos solucionarlo
11. Si podemos resolver la derivada, obtenemos $f'(x) = -\frac xy$

3. Preguntas

1. Mi forma de pensar es la correcta?
2. Lo que significa que la respuesta final? Parece extraño, no me dicen nada en comparación a la norma, explícita derivada de una función.
3. Hay una diferencia entre el$\frac{dy}{dx}$$\frac{d}{dx}y$ ?
4. ¿Por qué quiero saber ? Porque quiero saber cómo interpretar los pasos y de la solución, no sólo a través de algoritmos resolver algún libro de problemas.

PS. Soy apenas después de la secundaria, - por lo Tanto no sé todavía teorema y otros de alto nivel de matemáticas de las cosas. Estoy de aprendizaje de cálculo en el mío propio.

Answer 1

Como un primer pensamiento, considere la posibilidad de una parametrización de una parte de la solución en$t \mapsto (x(t),y(t))$$t \in [a,b]$. Supongamos que tanto $x(t), y(t)$ son diferenciables con respecto a $t$. Luego, tenemos la ecuación:

$$x(t)^2 + y(t)^2 = 1$$

Que se convierte, diferenciando wrt $t$

$$2x(t)x'(t) + 2y(t)y'(t) = 0$$

Asumiendo $x' \neq 0, y \neq 0$, tenemos

$$-\frac{x(t)}{y(t)} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$$

Así que nos hemos relacionado con las coordenadas de la configuración de parámetros y los derivados de las coordenadas. Particularmente agradable caso sería si $x(t) = t$, en cuyo caso podemos pensar en ella como $y(x)$ y el lado derecho es $\frac{dy}{dx}$.

Lo que realmente está pasando aquí es el estudio del conjunto de nivel de una función $F(x,y)$. Una manera de ver esto es que si un camino liso $t \mapsto(x(t),y(t))$ recorre un conjunto de nivel, a continuación, la composición de la $F(x(t),y(t)) = k$ es constante, por lo que la derivada es cero. En el multivariable regla de la cadena da el uso de las relaciones entre el $x,y,x',y'$ en términos de $F$. El teorema de la función implícita nos dice que bajo ciertas condiciones simples en $\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}$podemos resolver localmente en tal manera como para parametrizar con $x(t) = x$, así que básicamente $y(t) =y(x)$. A continuación, $x' = 1$ y la relación es más facil.

Quería agregar esto, pero la "condición" es simplemente que $ y'(t) \asesino \Delta F(\gamma(t))$

Answer 2

si tenemos $y=y(x)$ tenemos $2y\cdot y'+2x=0$ aquí estamos usando la chaine regla para la diferenciación de $y=y(x)$