Ayudar a Resolver este 1D Lineal Parabólica PDE

Question

Deje $u = u(t,x)$ satisfacer el PDE $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + (a + bx)\frac{\partial u}{\partial x} + f u, $$ donde $a,b,c,f \in \mathbb{R}$ son constantes.

Soy consciente de los métodos de solución para al $c \propto x^2$ (por lo que no constante) y $a = 0$, por lo que me gustaría hacer el cambio de variables $x \mapsto \log x$ sea coeficiente constante, el uso de la transformada de Fourier para hacer una ODA y resolver a partir de ahí. Esto parece más fácil de la PDE me tiene perplejo, sin embargo, y agradecería un empujón en la dirección correcta!

Answer 1

La solución general está dada por: $$u(x,t) = e^{- \lambda t} \, e^{-\frac{x}{2c}(2a + b x)} H_{\alpha}\left(\frac{a + bx}{\sqrt{2b}} \right)$$ donde $\alpha = \frac{f+\lambda}{b} - 1$ $H_{n}(z)$ es el polinomio de Hermite.

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La solución se obtiene mediante la siguiente.

Deje $u(x,t) = e^{- \lambda t} \, F(x)$ en la ecuación \begin{align} u_{t} = c u_{xx} + (a + b x) u_{x} + d u \end{align} para obtener \begin{align} F'' + \left(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} \, x \right) F' + \left( \frac{d + \lambda}{c} \right) \, F = 0. \end{align} Ahora, de Wolfram Alpha, la ecuación de $y'' + (\alpha + \beta x) y' + \gamma y = 0$ tiene la solución \begin{align} y = e^{- \frac{x}{2} (2 \alpha + \beta x)} \, H_{p}\left(\frac{\alpha + \beta x}{\sqrt{2 \beta}} \right) \end{align} donde $p = \frac{\gamma}{\beta} - 1$. A partir de este la solución anterior se obtiene.

Answer 2

Puede aplicarse directamente de separación de variables, pero en realidad este PDE puede obtener de la forma más simplificada cuando la aplicación de separación de variables, aplicando el siguiente cambio de variables:

Deje $\begin{cases}x_1=a+bx\\t_1=t\end{cases}$ ,

A continuación, $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x_1}\dfrac{\partial x_1}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial t_1}\dfrac{\partial t_1}{\partial x}=b\dfrac{\partial u}{\partial x_1}$

$\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(b\dfrac{\partial u}{\partial x_1}\right)=\dfrac{\partial u}{\partial x_1}\left(b\dfrac{\partial u}{\partial x_1}\right)\dfrac{\partial x_1}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial t_1}\left(b\dfrac{\partial u}{\partial x_1}\right)\dfrac{\partial t_1}{\partial x}=b^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x_1^2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial u}{\partial x_1}\dfrac{\partial x_1}{\partial t}+\dfrac{\partial u}{\partial t_1}\dfrac{\partial t_1}{\partial t}=\dfrac{\partial u}{\partial t_1}$

$\therefore\dfrac{\partial u}{\partial t_1}=\dfrac{b^2c^2}{2}\dfrac{\partial^2u}{\partial x_1^2}+bx_1\dfrac{\partial u}{\partial x_1}+fu$

Con referencia al Cambio de variables dentro de Fokker-Planck de la PDE,

Deje $\begin{cases}x_2=x_1e^{bt_1}\\t_2=t_1\end{cases}$ ,

A continuación, $\dfrac{\partial u}{\partial x_1}=\dfrac{\partial u}{\partial x_2}\dfrac{\partial x_2}{\partial x_1}+\dfrac{\partial u}{\partial t_2}\dfrac{\partial t_2}{\partial x_1}=e^{bt_1}\dfrac{\partial u}{\partial x_2}=e^{bt_2}\dfrac{\partial u}{\partial x_2}$

$\dfrac{\partial^2u}{\partial x_1^2}=\dfrac{\partial}{\partial x_1}\left(e^{bt_2}\dfrac{\partial u}{\partial x_2}\right)=\dfrac{\partial u}{\partial x_2}\left(e^{bt_2}\dfrac{\partial u}{\partial x_2}\right)\dfrac{\partial x_2}{\partial x_1}+\dfrac{\partial u}{\partial t_2}\left(e^{bt_2}\dfrac{\partial u}{\partial x_2}\right)\dfrac{\partial t_2}{\partial x_1}=e^{2bt_2}\dfrac{\partial^2u}{\partial x_2^2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial t_1}=\dfrac{\partial u}{\partial x_2}\dfrac{\partial x_2}{\partial t_1}+\dfrac{\partial u}{\partial t_2}\dfrac{\partial t_2}{\partial t_1}=bx_1e^{bt_1}\dfrac{\partial u}{\partial x_2}+\dfrac{\partial u}{\partial t_2}$

$\therefore bx_1e^{bt_1}\dfrac{\partial u}{\partial x_2}+\dfrac{\partial u}{\partial t_2}=\dfrac{b^2c^2e^{2bt_2}}{2}\dfrac{\partial^2u}{\partial x_2^2}+bx_1e^{bt_1}\dfrac{\partial u}{\partial x_2}+fu$

$\dfrac{\partial u}{\partial t_2}-fu=\dfrac{b^2c^2e^{2bt_2}}{2}\dfrac{\partial^2u}{\partial x_2^2}$