$\int f(x) dx\cdot \int \frac{1}{f(x)}dx = c$ donde $c$ es una constante. Encontrar $f(x)$

Question

$$\int f(x) dx\cdot \int \frac{1}{f(x)}dx = c$$ where $c$ is a constant. Find $f(x)$.

Off primera vista parece que la $f(x)$ es de alguna forma de $e^x$, pero, ¿cómo ir sobre hacer esto de forma analítica (sólo 1 punto para adivinar). Tomé el derivado de esto, pero el resultado de la función sigue siendo fea. Pensé que tal vez se trate como una de primer orden de la ecuación diferencial lineal iba a funcionar, pero yo no estaba seguro de cómo poner en el formulario de $y' + P(x)y = Q(x)$

Answer 1

Deje $F(x)$ ser la antiderivada de $f(x)$.

$$\int\frac1{F'(x)}dx=\frac c{F(x)},$$

$$\frac1{F'(x)}=-\frac{cF'(x)}{F^2(x)}.$$

Entonces

$$\left(F'(x)+\frac1{\sqrt{-c}}F(x)\right)\left(\,F'(x)-\frac1{\sqrt{-c}}F(x)\right)=0,$$

tiene la forma deseada (y, por supuesto, las soluciones son exponenciales). No hay soluciones reales para $c\ge0$.

Answer 2

Se da eso $$\int\frac{1}{f(x)}dx\cdot \int f(x)dx =c ...(1)$$

Ahora la diferenciación de ambos lados w.r.t $x$, obtenemos

$$\int \frac{1}{f(x)}dx\cdot f(x)+\frac{1}{f(x)}\cdot \int f(x)dx =0... (2)$$

Ahora, a partir de la ecuación de $(1)$, obtenemos $$ \int\frac{1}{f(x)}dx = \frac{c}{\int f(x)dx}$$

y poner en la ecuación $(2)$, obtenemos $$\frac{c\cdot f(x)}{\int f(x)dx}+\frac{\int f(x)dx}{f(x)} = 0$$

Por lo $$ \left(\int f(x)dx\right)^2 = -c\cdot \left(f(x)\right)^2$$

Ahora Vamos A $-c=\alpha^2\;,$ $$\left(\int f(x)dx\right)^2 = \alpha^2\cdot \left(f(x)\right)^2$$

Así $$\int f(x)dx = \pm \alpha\cdot f(x)\;,$$ Differentiate both side w.r.t $x\;,$ obtenemos

$$\Rightarrow f(x) = \pm \alpha\cdot f'(x)\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\pm k\;,$$ where $k = \pm \frac{1}{\alpha}$.

Ahora Integrar ambos lados w.r.t $x\;,$ tenemos

$$\Rightarrow \int \frac{f'(x)}{f(x)} = \pm k\int dx\Rightarrow \ln\left|f(x)\right| = \pm k+\ln \left|c\right|\Rightarrow f(x)=c\cdot e^{\pm kx}$$ Espero que ayude.