Expectativa de la inversa de la suma de variables aleatorias

Question

Dejemos que $X_i$ 's ( $i=1,..,n$ ) sean variables aleatorias i.i.d. con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ .

¿Existe algún método que pueda utilizarse para calcular $\mathbb{E}[1/(X_1+...+X_n)]$ ?

Answer 1

Asumiendo que la expectativa existe, y además asumiendo $X$ sean variables aleatorias positivas: $$ \mathbb{E}\left(\frac{1}{X_1+\cdots+X_n}\right) = \mathbb{E}\left( \int_0^\infty \exp\left(-t (X_1+\cdots+X_n) \right) \mathrm{d}t \right) $$ Intercambiando la integral sobre $t$ con expectación: $$ \mathbb{E}\left( \int_0^\infty \exp\left(-t (X_1+\cdots+X_n) \right) \mathrm{d}t \right) = \int_0^\infty \mathbb{E}\left(\exp\left(-t (X_1+\cdots+X_n) \right) \right) \mathrm{d}t $$ Utilizando la propiedad iid: $$ \int_0^\infty \mathbb{E}\left(\exp\left(-t (X_1+\cdots+X_n) \right) \right) \mathrm{d}t = \int_0^\infty \mathbb{E}\left(\exp\left(-t X \right) \right)^n \mathrm{d}t $$ Así que debes conocer la función generadora de Laplace $\mathcal{L}_X(t) = \mathbb{E}\left(\mathrm{e}^{-t X} \right)$ que tenemos: $$ \mathbb{E}\left(\frac{1}{X_1+\cdots+X_n}\right) = \int_0^\infty \mathcal{L}_X(t)^n \mathrm{d} t $$

Answer 2

Como han comentado otros, necesitas más información. Sin embargo, tienes una estimación (utilizando la convexidad): suponiendo que las variables aleatorias son positivas, $$E\left[ \frac{1}{X_1 + \ldots + X_n} \right] \ge \frac{1}{E[X_1 + \ldots + X_n]} = \frac{1}{n\mu}$$