Si $M[G]\cap M[H]=M$ debe $G\times H$ ser genérico?

Question

Suponga que $M$ es una contables modelo transitivo de ZFC, $\mathbb{P}\in M$ es un obligando a la noción, y $G,H$ dos $\mathbb{P}$-de los filtros genéricos más de $M$. Como fue demostrado en la respuesta a esta pregunta, si $G\times H$ $\mathbb{P}\times\mathbb{P}$- genérico más de $M$$M[G]\cap M[H]=M$. Ahora la pregunta es si el contrario es cierto. Qué $M[G]\cap M[H]=M$ implica que $G\times H$ $\mathbb{P}\times\mathbb{P}$- genérico más de $M$?

Answer 1

No, y No es un ejemplo con Cohen forzar.

Considerar los pares de $(s,t) \in 2^{<\omega} \times 2^{<\omega}$$\vert s \vert = \vert t \vert$, y para cualquier $n < \vert s \vert$, $s(n) = 1 \rightarrow t(n) = 1$. Indicar el árbol de $(s,t)$$T$.

Ahora obligando a con $T$ da un par de Cohen reales $(c_0,c_1)$ que no son genéricos para $2^{<\omega} \times 2^{<\omega}$.

Ahora supongamos que $\tau_0$, $\tau_1$ son (Cohen obligando a) los nombres de los conjuntos de los números ordinales para que $\tau_0[c_0] = \tau_1[c_1]$. Entonces este es forzado por $(s,t) \in T$, $s \subseteq c_0$, $t \subseteq c_1$.

La reclamación. Supongamos $s' \leq s$$s' \Vdash \alpha \in \tau_0$. Entonces cualquier $s'' \leq s$ $\vert s'' \vert = \vert s' \vert$ fuerzas de $\alpha \in \tau_0$. Asimismo, para $\alpha \notin \tau_0$.

Prueba. Deje $s''$ ser arbitrario con $\vert s'' \vert = \vert s' \vert$. Tenga en cuenta que para cualquier $t' \leq t$, de modo que $(s',t') \in T$, $t' \Vdash \alpha \in \tau_1$ (debido a $(s',t') \leq (s,t)$). Deje $t' \leq t$, de modo que para $n \in [\vert t \vert,\vert s' \vert)$, $t'(n) = 1$. Luego, obviamente,$(s',t') \in T $$(s',t') \leq (s,t)$, lo $t' \Vdash \alpha \in \tau_1$. Ahora observe de nuevo que para cualquier $s_0 \leq s$, de modo que $(s_0,t') \in T$, $s_0 \Vdash \alpha \in \tau_0$. Pero ahora podemos simplemente tomar $s_0 =s''$ y tenemos que $s'' \Vdash \alpha \in \tau_0$.

Por la reivindicación $\tau_0[c_0] \in M$.

Ahora a considerar los conjuntos de los números ordinales del curso es suficiente, porque para un ejemplo $A \in (M[c_0] \cap M[c_1]) \setminus M$ con un mínimo de rango se puede considerar un bijection en $M$ $V_\delta$ a algunos ordinal para el adecuado $\delta$ y considerar la posibilidad de $A$ como un conjunto de ordinales. También el uso de la opción en $M$ puede evitarse teniendo en cuenta los nombres de los subconjuntos de a $M$ en lugar de nombres de los conjuntos de los números ordinales.

Answer 2

La respuesta es no. Considere que cualquiera de los dos forzamientos $\mathbb Q_1, \mathbb Q_2$ con los filtros genéricos $H_1,H_2$ tal que $M[H_1] \cap M[H_2] = M$, sin embargo, $H_1 \times H_2$ no $\mathbb Q_1 \times \mathbb Q_2$-genérica. Ahora vamos a $\mathbb P = \mathbb Q_1 \oplus \mathbb Q_2$ ser el de la lotería de la suma.