Suponga que M es una contables modelo transitivo de ZFC, P∈M es un obligando a la noción, y G,H dos P-de los filtros genéricos más de M. Como fue demostrado en la respuesta a esta pregunta, si G×H P×P- genérico más de MM[G]∩M[H]=M. Ahora la pregunta es si el contrario es cierto. Qué M[G]∩M[H]=M implica que G×H P×P- genérico más de M?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?No, y No es un ejemplo con Cohen forzar.
Considerar los pares de (s,t)∈2<ω×2<ω|s|=|t|, y para cualquier n<|s|, s(n)=1→t(n)=1. Indicar el árbol de (s,t)T.
Ahora obligando a con T da un par de Cohen reales (c0,c1) que no son genéricos para 2<ω×2<ω.
Ahora supongamos que τ0, τ1 son (Cohen obligando a) los nombres de los conjuntos de los números ordinales para que τ0[c0]=τ1[c1]. Entonces este es forzado por (s,t)∈T, s⊆c0, t⊆c1.
La reclamación. Supongamos s′≤ss′⊩. Entonces cualquier s'' \leq s \vert s'' \vert = \vert s' \vert fuerzas de \alpha \in \tau_0. Asimismo, para \alpha \notin \tau_0.
Prueba. Deje s'' ser arbitrario con \vert s'' \vert = \vert s' \vert. Tenga en cuenta que para cualquier t' \leq t, de modo que (s',t') \in T, t' \Vdash \alpha \in \tau_1 (debido a (s',t') \leq (s,t)). Deje t' \leq t, de modo que para n \in [\vert t \vert,\vert s' \vert), t'(n) = 1. Luego, obviamente,(s',t') \in T (s',t') \leq (s,t), lo t' \Vdash \alpha \in \tau_1. Ahora observe de nuevo que para cualquier s_0 \leq s, de modo que (s_0,t') \in T, s_0 \Vdash \alpha \in \tau_0. Pero ahora podemos simplemente tomar s_0 =s'' y tenemos que s'' \Vdash \alpha \in \tau_0.
Por la reivindicación \tau_0[c_0] \in M.
Ahora a considerar los conjuntos de los números ordinales del curso es suficiente, porque para un ejemplo A \in (M[c_0] \cap M[c_1]) \setminus M con un mínimo de rango se puede considerar un bijection en M V_\delta a algunos ordinal para el adecuado \delta y considerar la posibilidad de A como un conjunto de ordinales. También el uso de la opción en M puede evitarse teniendo en cuenta los nombres de los subconjuntos de a M en lugar de nombres de los conjuntos de los números ordinales.
La respuesta es no. Considere que cualquiera de los dos forzamientos \mathbb Q_1, \mathbb Q_2 con los filtros genéricos H_1,H_2 tal que M[H_1] \cap M[H_2] = M, sin embargo, H_1 \times H_2 no \mathbb Q_1 \times \mathbb Q_2-genérica. Ahora vamos a \mathbb P = \mathbb Q_1 \oplus \mathbb Q_2 ser el de la lotería de la suma.