$S$ es cerrada bajo uniones de parejas $⇒$ $S$ es cerrado bajo arbitraria de los sindicatos?

Question

Deje $X$ a un y $S$ ser una colección de subconjuntos de a $X$, que, dado cualquier $U,V\in S$, $U\cup V\in S$.

Intuitivamente parece que esto debería implicar que la arbitraria sindicatos también están en $S$. Es decir, dado el índice de establecer $I$ y $\{U_i\}_{i\in I}\subseteq S$, $\bigcup_{i\in I}U_i\in S$.

Es este el caso?

Answer 1

No, no es el caso. Deje $S$ ser la colección de subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$, por ejemplo.

Answer 2

No es el caso. Por ejemplo, la colección de (topológicamente) conjuntos cerrados en $\Bbb R$ es cerrado bajo de a pares los sindicatos. Sin embargo, la unión $$ (0,1) = \bigcup_{n = 1}^\infty [1/n,1-1/n] $$ no es un (topológicamente) conjunto cerrado.

Answer 3

También puede tomar el $X=\mathbb{R}^2$ y deje $S$ ser la colección de limitada subconjuntos. La unión de dos (o de un número finito) delimitada conjuntos acotados [demostrar]. Sin embargo, usted puede fácilmente cubrir todo el plano con limitada "piezas" o "tiles" si se le permite infinitamente muchos de ellos [pruebe que].

Answer 4

Consideremos el conjunto $$ \left\{\left[-1+\frac1n, 1-\frac1n\right]\mediados n\in \Bbb N\right\} $$ de cerrado intervalos en la recta numérica.

Answer 5

Vamos $X = \mathbb{R}$, $S = \{(-\inf,x) \subset \mathbb{R} : x \in \mathbb{R} \}$. Se observa que para todos los $x,y \in \mathbb{R}$, $(-\infty,x) \cup (-\infty, y) = (-\infty, \max\{x,y\}) \in S$.

Pero $\bigcup_{i=0}^\infty (-\infty, i) = \mathbb{R} \not \in S$.