Calculando la raíz cuadrada de un círculo

Question

He notado que si considero la ecuación $$ z^2=c $$ donde $c \in \mathbb{C}$ entonces puedo encontrar $z$ por $$ z= \pm \sqrt{\left|c\right|}e^{i\frac{\text{arg}\left(c\right)}{2}} $$ Por lo tanto, usando Geogebra, he encontrado que si considero $f : z \mapsto \sqrt{z}$ la imagen de un disco $D$ de radio $R$ es

• compuesta de una estructura si $0 \in D$ como aquí

• compuesta de dos estructuras (que parecen discos simétricos a $0$) si $0 \notin D$ como aquí

¿Alguien puede explicarme este fenómeno y cómo puedo explicarlo matemáticamente? Además, ¿podemos demostrar que esas estructuras son discos si $0 \notin D$ y son una estructura conectada si $0 \in D$?

EDICIÓN

Ahora he mostrado (gracias a Quinn) que la ecuación cartesiana para la curva si partimos de un círculo de centro $(a,b)$ y radio $R$ es $$ \left(u^2-v^2-a\right)^2+\left(2uv-b\right)^2=R^2 $$ ¿Hay alguna manera con esta ecuación de mostrar que se divide en dos partes si y solo si $0 \in D$?

Answer 1

En el primer diagrama, tienes el gráfico de $$|z-2i|=3$$ junto con la transformación $$w^2=z\implies(u+iv)^2=x+iy$$ de la cual obtenemos $$x=u^2-v^2$$ y $$y=2uv$$

Entonces, la imagen del círculo, que en forma cartesiana es $$x^2+(y-2)^2=9$$ es entonces $$(u^2-v^2)^2+(2uv-2)^2=9$$

Esta es la curva trazada en la línea más gruesa en el mismo diagrama.

Answer 2

Supongamos, el centro del disco está en el eje imaginario (de lo contrario, puedes rotar ambos ejes).

Si consideras el eje real, de ecuación $\Re(z)=0$, la raíz cuadrada de este lugar geométrico está formada por las dos líneas $\Re(z)=0$ y $\Im(z)=0$, es decir, los dos ejes de coordenadas.

Por lo tanto, si el disco no se superpone al origen, no cruza el eje real y la raíz cuadrada está formada por dos componentes disjuntas en cuadrantes opuestos.

Sospecho que los círculos transformados son óvalos de Cassini (y un lemniscato cuando el círculo pasa por el origen).

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Si consideras el círculo de ecuación

$$z=e^{i4\theta}+1$$ que pasa por el origen, la raíz cuadrada es

$$\sqrt z=\sqrt{\cos4\theta+1+i\sin4\theta}=\sqrt{2\cos2\theta}\sqrt{\cos2\theta+i\sin2\theta}=\sqrt{2\cos2\theta}\,(\cos\theta+i\sin\theta)$$

y esto es en efecto un lemniscato de ecuación polar

$$r^2=2\cos2\theta.$$

Es el límite entre las imágenes conectadas y desconectadas, y tiene un punto doble.

(Para el centro en el eje imaginario, rota $45°$.)

Answer 3

Los números complejos pueden ser parametrizados por z = a+bi, pero también pueden ser parametrizados con z = $re^{i\theta}$. Esto tiene el problema de que (r,$\theta$) ->z no es biunívoco; ($0,\theta$) va a cero para todos los valores de $\theta$, y van a cero, y ($r,\theta$), ($r,\theta+ 2\pi$) van al mismo valor. Supongamos que definimos $f_p(r,\theta) = (\sqrt x, \theta /2)$. Luego encontrar la imagen de una región bajo f se puede hacer encontrando la región correspondiente en el sistema de coordenadas polares, aplicar $f_p$, y luego ver a qué región corresponde en coordenadas rectangulares.

Otra forma de pensar es imaginando una lámina helicoidal; imagina tomar un gráfico polar, y envolverlo sobre sí mismo para que cada curva con r constante sea una hélice, el conjunto de puntos ($r,\theta + n\pi$) todos estén uno sobre el otro. Si queremos convertir de este sistema de coordenadas al rectángulo, simplemente proyectamos en una capa, tomando cada punto que aparezca en al menos una capa.

Tomar la raíz cuadrada reduce a la mitad el valor de $\theta$. Si un punto está en una capa par (es decir, $\theta = 2n(2 \pi)+\theta'$), entonces terminamos a la mitad del ángulo en una capa a la mitad de altura (es decir, ahora tenemos $n(2 \pi)+\theta'$/2). Si está en una capa impar, entonces todavía tomamos la mitad de las capas, pero ahora tenemos la mitad adicional de capa que aparece como una rotación de $\pi$, por lo que $(2n+1)(2 \pi)+\theta'$ se convierte en $n(2 \pi)+\theta'/2 + \pi$. Originalmente, teníamos una copia de nuestra región en cada capa, cada copia correspondiendo a la misma región en las coordenadas rectangulares. Ahora la mitad de las copias corresponden a una región, mientras que la otra mitad corresponde a otra.

Otra forma de pensarlo es que al tomar la raíz cuadrada, se reduce a la mitad el ángulo hacia el eje x. La complicación es que tanto el ángulo en sentido horario como en sentido antihorario se reduce a la mitad. En tu ejemplo, el centro de tu disco está a 90 grados en sentido antihorario desde el eje x, por lo que al dividir eso terminas con él a 45 grados en sentido antihorario desde el eje x. Pero también está a 270 grados en sentido horario desde el eje x, por lo que terminas con una región a 135 grados en sentido horario desde el eje x.

En cuanto a si la imagen consiste en discos, considera los puntos A = 11+0i, B = 10+1i, C = 9+0i, D = 10-1i. Estos cuatro puntos están en el círculo centrado en 10+0i con radio 1. Si tomas la raíz cuadrada principal, terminas con

$\sqrt A = 3.316624790+0i$
$ \sqrt B = 3.166218219+0.1579171i$
$ \sqrt C = 3+0i$
$ \sqrt D = 3.166218219+0.1579171i$.

Vamos a tomar
$H = \sqrt A - \sqrt C = 0.3166247903554$
$V = \sqrt B - \sqrt D = 0+0.3158342005574769i$.

H es el diámetro horizontal de la imagen, mientras que V es el diámetro vertical. Si esto es un círculo, estos deberían tener la misma magnitud. Pero H es ligeramente más grande que V; el círculo se comprime ligeramente más en la dirección perpendicular a la distancia desde el origen. Para círculos lejos del origen, esta diferencia es pequeña, y la imagen parece estar compuesta de círculos. Pero a medida que te acercas al origen, la distorsión aumenta cada vez más. Cuando incluyes el origen en la región original, la imagen consiste en dos regiones superpuestas, pero esas dos regiones ya no se parecen en nada a círculos, por lo que la región completa no parece estar compuesta por dos círculos superpuestos.