Diferentes p-ádico topologías en $\mathbb{Q} $ son homeomórficos

Question

Dotar a $\mathbb{Q}$ (racionales) con el p-ádico (resp. p-adic) topología, donde p,q son primos. Son estos espacios topológicos homeomórficos ?

Sé que las normas no son equivalentes, por lo tanto no inducir la misma topología. Lo que estoy preguntando es si los dos distintas topologías son homeomórficos el uno al otro. La razón por la que estoy pidiendo es que sé que $\mathbb{Q}_p$ $\mathbb{Q}_q$ son homeomórficos uno al otro.

Answer 1

He aquí una alternativa a Lee Mosher del argumento, usando un teorema general de la topología. Cualquiera de los dos contables métrica espacios sin puntos aislados son homeomórficos. En particular, esto implica la $p$-ádico y $q$-ádico topologías en $\mathbb{Q}$ dar homeomórficos espacios, y en el hecho de que estos espacios son también homeomórficos a $\mathbb{Q}$ con la topología usual.

(En realidad, una manera de demostrar este teorema es ir a través de hechos sobre el conjunto de Cantor similar al argumento de Lee Mosher en la respuesta. Usted puede encontrar una prueba a lo largo de estas líneas, así como algunas otras pruebas en este papel bonito.)

Answer 2

Si esto es cierto. Aquí un poco de la rotonda de la prueba, por aplicación de los dos teoremas acerca de conjuntos de Cantor (y supongo que cualquier ruta a una prueba directa, más o menos, repetir los elementos de las pruebas de estos dos teoremas).

La finalización de $\mathbb{Q}$ con respecto al $p$-ádico norma es la métrica espacio denotado $\mathbb{Q}_p$, y la finalización de la $\mathbb{Q}$ con respecto al $q$-ádico norma es $\mathbb{Q}_q$.

Ninguno de los espacios métricos $\mathbb{Q}_p$ $\mathbb{Q}_q$ es compacto, así que permítanme que denotan su 1-punto compactifications como $1pc(\mathbb{Q}_p)$$1pc(\mathbb{Q}_q)$. Los dos espacios son cada compacto metrizable, totalmente desconectado, y no tiene puntos aislados. Por lo tanto, por el teorema de la métrica de los espacios, de los dos espacios de $1pc(\mathbb{Q}_p)$ $1pc(\mathbb{Q}_q)$ son tanto homeomórficos para el Cantor medio tercios set $C$.

En el $p$-ádico norma topología, $\mathbb{Q}$ es una contables subconjunto denso de $1pc(\mathbb{Q}_p)$. En el $q$-ádico norma topología, $\mathbb{Q}$ es una contables subconjunto denso de $1pc(\mathbb{Q}_q)$. Por otro general teorema de métrica espacios, para cualquiera de los dos contables densa subconjuntos $X,Y \subset C$ hay una homeomorphism $f : C \to C$ tal que $f(X)=Y$; por lo tanto, por la restricción de $f$, obtenemos un homeomorphism de$X$$Y$. Poniendo esto junto con el párrafo anterior, obtenemos un homeomorphism de $\mathbb{Q}$ $p$- ádico norma topología de a $\mathbb{Q}$ $q$- ádico la topología de la norma.

Una buena fuente de este material es el Capítulo 12, "Homeomorphisms entre conjuntos de Cantor", en el libro "topología Geométrica de las dimensiones 2 y 3" por Moise.