Hay demasiados Mecha del Teoremas!

Question

Esta es una pregunta de seguimiento a QMechanic del gran respuesta en esta pregunta. Dan una formulación de la Mecha del teorema como puramente combinatoric declaración acerca de dos órdenes totales $\mathcal T$ $\colon \cdots \colon$ sobre un álgebra.

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Me han llegado a través de "la Mecha del teoremas" en muchos contextos. Mientras que algunos de ellos son casos especiales del teorema [1], otros son ... tan lejos como puedo ver ... no. Me pregunto si hay incluso un marco más general en el que la Mecha del teorema se puede presentar, demostrar que todos estos teoremas son en realidad la misma combinatoric declaración.

1. La mecha del teorema se aplica a una cadena de creación y aniquilación de los operadores, como se describe por ejemplo en la Wikipedia: $$ ABCD = \mathopen{\colon} ABCD \mathclose{\colon} + \sum_{\text{singles}} \mathopen{\colon} A^\bullet B^\bullet CD \mathclose{\colon} + \cdots \tag{*} $$ Aquí, el lado izquierdo es "desordenada" y a mí me parece que [1] no es válido?

2. La creación y aniquilación de los operadores en (*) puede ser bosonic o fermionic.
   Este tecnicismo no es un problema en [1], ya que permite la gradual álgebras.

3. La mecha del teorema se puede aplicar también a los operadores de campo: $$ \mathcal T\, \phi_1 \cdots \phi_N = \mathopen{\colon} \phi_1 \cdots \phi_N \mathclose{\colon} + \sum_{\text{singles}} \mathopen{\colon} \phi_1^\bullet \phi_2^\bullet \cdots \phi_N \mathclose{\colon} + \cdots $$ Desde el modo de expansión de un operador de campo $\phi_k$ se compone de aniquilación y creación de los operadores, normal de ordenar en realidad no es simplemente un orden total en el álgebra de los operadores de campo. Una vez más, no podemos aplicar [1]?

4. En una clase que estoy tomando ahora mismo, se aplicó la Mecha del teorema como este para los operadores de campo que no depende del tiempo: $$ \phi_1 \cdots \phi_N = \mathopen{\colon} \phi_1 \cdots \phi_N \mathclose{\colon} + \sum_{\text{singles}} \mathopen{\colon} \phi_1^\bullet \phi_2^\bullet \cdots \phi_N \mathclose{\colon} + \cdots $$ Esto parece combinar los temas de los puntos 1 y 3...

5. En la teoría de la probabilidad, hay Isserlis Teorema: $$ \mathbb E(X_1 \cdots X_{2N}) = \sum_{\text{Wick}} \prod \mathbb E(X_i X_j) $$ Esto parece que también debe ser una consecuencia de uno y el mismo teorema, pero yo no sé ni lo que el álgebra estaría aquí.

6. Mi teoría de cuerdas en las conferencias se hace bastante tiempo, pero yo recuerdo vagamente que no teníamos radial de pedidos en lugar de tiempo de ordenar. También parece que hay cierta conexión con OPEs.
   Esto parece no ser un problema con [1].

7. En la térmica de la teoría del campo, la definición de normal de ordenar cambios.
   Esto parece no ser un problema con [1].

Answer 1

Varios comentarios en los post (v3):

1. Uno puede especular que aparentemente desordenada de los operadores, en la práctica, siempre se ordenó wrt. algunos de pedido.

2. -

3. Mientras los campos $\phi_i=\phi_i^{(+)}+\phi_i^{(-)}$ son lineales en la creación y la aniquilación de los operadores, esto no debería ser un problema.

4. -

5. Isserlis teorema es relativa a la ruta integral de la formulación del teorema de Wick, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.

6. -

7. -

Lo más importante generalización del operador de formulación de la Mecha del teorema (comparado con mi Phys.SE la respuesta), es considerar que las contracciones no pertenece al álgebra centro. Esto se utiliza a menudo en CFT, ver, por ejemplo, Ref. 1.

Referencias:

1. J. Fuchs, Afín Álgebras de Lie y los Grupos Cuánticos, (1992); eq. (3.1.35).

Answer 2

Voy a dar una respuesta para explicar por qué hay demasiadas Mecha del teoremas en física de la materia condensada o muchos-cuerpo de la física.

En realidad, la importancia de la Mecha del teorema está estrechamente relacionado con el cálculo de la función de Green. La función de Green técnicas en física de la materia condensada o en muchos cuerpos de física generalmente se basan en la expansión de la función de Green en cuestión (generalmente contiene el cuarto grado términos del Hamiltoniano) en una serie infinita de las más altas funciones de Green para un noninteracting solucionable sistema y un posterior a la contracción en la que los productos de una partícula de la función de Green. Esta descomposición se simplifica en gran medida por el uso de sugerentes esquemática de las representaciones. El riguroso de la fundación de este procedimiento es conocido como Mecha del teorema.

• La primera vez que se reúnen

Primero resolvemos la Mecha del teorema es la formulación de la de muchos cuerpos de perturbación de la expansión de cero-la temperatura de la función de Green en el que el problema puede ser descrito por el Hamiltoniano: $$H=H_0+H_i$$ donde $H_i$ es el complejo de muchos cuerpos en interacción.

• La segunda satisfacer

Vamos a cumplir con la Mecha del teorema de nuevo cuando realizamos el cuerpo de la expansión de la finitos temeprature de la función de Green en el que el problema también puede ser descrito por Hamiltonianos $H=H_0+H_i$. La gran diferencia en comparación con el cero de la temperatura de la función de Green es que el sistema ya no está en un estado del suelo en lugar de un estado mixto, por la densidad de la matriz $$\rho = \dfrac{e^{-\beta H}}{Tr[e^{-\beta H}]}.$$ Uno puede ver el equilibrio de muchos cuerpos en la densidad de la matriz contiene también la interacción de muchos cuerpos. Para formular la expansión simultánea de la densidad de la matriz y el tiempo de evolución de operador: $$U(t)=e^{-i H t/\hbar}$$ Matsubara de la estrategia: reemplace $\tau=it$ y el tratamiento de $\tau$ como un número real. Como resultado de esta sustitución, muchos cuerpos de perturbación de la expansión se hace posible.

• El tercer cumplir

Keldysh formalismo: el que es adecuado para la investigación de no equilibrio problema de los tres cuerpos. (Aquí la Mecha del teorema se parece mucho a cero de temperatura.)

• $\cdots \cdots$

Los siguientes enlaces son de la bibliografía recomendada para demostrar la Mecha del teorema y discutir las interrelaciones entre las diferentes versiones de la Mecha del teorema.

1.La mecha del teorema general de los estados iniciales;

2.De equilibrio y no equilibrio de muchos cuerpos teoría de la perturbación;