Inesperado uso de la topología en las pruebas de

Question

Un día estaba leyendo un artículo sobre la infinitud de los números primos en la Prueba de la Wiki. El artículo se presentó una prueba de que utiliza sólo la topología para demostrar la infinitud de los números primos, y me pareció muy interesante y satisfactorio. Me pregunto, si no son similares las pruebas de que el uso de topología en la que no es obvio que se puede aplicar. Estoy seguro que viendo este tipo de pruebas también podría fortalecer mi intuición con la topología.

Así que mi pregunta es: "Que los teoremas, no vinculadas directamente con la topología, han interesante pruebas de que el uso de la topología?".

Gracias de antemano!

Answer 1

Una de las fuentes más ricas para esto es geométricas teoría de grupos, y especialmente las partes de ella que construir espacios topológicos correspondientes a grupos particulares (schreier gráficos, cayley complejos, BG espacios, etc.) Por ejemplo, la prueba de que cualquier subgrupo de un grupo libre es libre (Nielsen Schreier) resume cómo topológico argumentos simplificar algunas partes de la teoría de grupos.

Hay métodos de prueba de teoremas de geometría discreta que utilizan métodos de equivariant topología (como el jamón del sándwich teorema a través de Borsuk ulam.) Estos utilizan el CS/TM paradigma, que los estudios de mapas entre el espacio de "configuraciones geométricas" para el "Espacio de soluciones viables."

Ver aquí para una referencia general y de wikipedia en una corta exposición.

Tengo un blogpost, donde tomo nota de algunos "raros pruebas en álgebra" uso de la topología algebraica: blogpost

Estos incluyen:

1. La identidad de Bezout a través de la separación de las curvas (se asume que el algoritmo euclidiano en el disfraz.)

2. Teorema Fundamental del Álgebra (resp. la existencia de autovalores) a través de lefschetz teorema de punto fijo

y, por supuesto, no es el uso de "Densidad argumentos" en la geometría algebraica (como de cayley-hamilton).

Answer 2

Cómo acerca de la Nielsen-Schreier teorema? El enunciado del teorema es totalmente algebraicas:

Cada subgrupo de un grupo libre es libre.

Para probarlo, le uso de la topología algebraica: el grupo libre en $n$ generadores es el grupo fundamental de que el ramo de $n$ círculos, y cualquier subgrupo del grupo fundamental es el grupo fundamental de algunos cubrir el espacio de este ramo. Entonces es una cuestión de uso de topológico argumentos para demostrar que cada cubrir el espacio del ramo de $n$ círculos es en sí mismo homotopy equivalente a un ramo de círculos.

Answer 3

El teorema de compacidad de la lógica proposicional (que un conjunto de oraciones tiene un modelo tan pronto como cada subconjunto finito has un modelo) puede ser probado mediante el teorema de Tychonoff en una Piedra adecuada del Espacio. Se puede probar sin topología como consecuencia de Gödel del teorema de completitud, pero el topológica de la prueba es más elegante y de hecho da el teorema su nombre. En cuanto a su objetivo declarado de la utilización de tales cosas para mejorar su intuición sobre la topología, recomiendo Steven Vicker del excelente libro de Topología a través de la Lógica.

Answer 4

Una de las pruebas del Teorema Fundamental del Álgebra utiliza la topología.

Answer 5

Aquí es un documento mediante el Borsuk-Ulam teorema de lidiar con una combinatoria problema de segmentación. Consiguió popularizó de nuevo por este video del canal de YouTube 3Blue1Brown.

Tal vez te gusta también esta relacionada con el vídeo que utiliza Sperner del lema para resolver otro discretos a problemas de división. Lo interesante es que el discreto "Sperner el lema" está estrechamente relacionado con el topológica "Brouwer del teorema de punto fijo". Cada uno puede ser utilizado para probar la otra.