He aquí cómo usted puede trabajar fuera de la respuesta a partir de cero, sin necesidad de tener inteligente saltos de la comprensión de la forma "vamos a intentar una solución como esta!".
Que no requieren de un par de "trucos del oficio", que voy a señalar a medida que surgen. Pero esas son de propósito general trucos en lugar de conocimientos específicos en este problema. Aparte de eso, sólo tendremos que hacer la cosa más sencilla disponible en cada paso :-).
Cuando me respondió primero esto, he interpretado mal la pregunta como a exigir a nuestros números enteros. Parece una pregunta interesante, de cualquier manera, así que aquí lo primero de todo es mi respuesta original, seguido por una versión que (como el OP intención) no hacer esa suposición.
Cuando nuestros números están obligados a ser números enteros
Así, supongamos que nuestros dos números es $a,b$. Su media geométrica es $\sqrt{ab}$; que es un número entero, por lo $ab$ es un cuadrado. [TRUCO 1] debemos tener $a=pq^2$ $b=pr^2$ para algunos enteros $p,q,r$.
Que se ocupa de la media geométrica. La media aritmética sólo necesita $a,b$ a tienen la misma paridad, que va a ser fácil. Entonces, ¿qué acerca de la media armónica? Eso es $\frac{2ab}{a+b}$. Tiene que ser un número entero, así que vamos a darle un nombre, $h$ decir. Por lo $2ab=h(a+b)$ o, en términos de las nuevas variables que hemos introducido anteriormente, $2p^2q^2r^2=ph(q^2+r^2)$. Vamos a perder un factor de $p$: $2pq^2r^2=h(q^2+r^2)$. Y, recuerde, esta ecuación es la única cosa que tenemos aparte de asegurarse de $a,b$ son ambos pares o ambos inclusive.
La siguiente cosa a notar es que el lado izquierdo es un múltiplo de ambos $q^2$$r^2$. ¿No sería agradable si ese factor de $q^2+r^2$ a la derecha que no estaban obteniendo en el camino? Aha! [TRUCO 2] podemos deshacernos de ella, ya que podemos asumir que $q$ $r$ son coprime. Por qué? Porque todo lo que necesitamos es $a=pq^2$$b=pr^2$, y si $q,r$ tienen un factor común, podemos mover su plaza en $p$.
Por lo tanto, tenemos $q,r$ coprime. Ahora $q^2\mathrel|2pq^2r^2=h(q^2+r^2)$. Desde que claramente $q^2\mathrel|hq^2$ da $q^2\mathrel|hr^2$ y ahora desde $q,r$ no tienen ningún factor común debemos tener $q^2\mathrel|h$. Del mismo modo $r^2\mathrel|h$. Incluso mejor, ya que las $q,r$ no tienen ningún factor común de estos dos nos dan $q^2r^2\mathrel|h$.
Al igual que con el original HM, tenemos una cosa dividiendo otro, así que vamos a nombrar el cociente. Decir $h=tq^2r^2$. ¿Qué sucede con la ecuación estábamos buscando? Se vuelve $2pq^2r^2=tq^2r^2(q^2+r^2)$ o, dividiendo la basura, $2p=t(q^2+r^2)$.
Pero ahora que hemos terminado, porque podemos (de nuevo, aparte de un poco de precaución con respecto a la paridad) tome $q,r,t$ a ser algo que nos gusta y definir $p$ por esta ecuación! Vamos, a continuación, obtener $p=t(q^2+r^2)/2$ y, a continuación,$a=pq^2$$b=pr^2$.
Vamos a averiguar los paridad restricciones. Si $q,r$ tienen la misma paridad (es decir, son ambos pares o ambos inclusive), a continuación, $q^2+r^2$ es aún, por lo $p$ es automáticamente un número entero, y $a,b$ automáticamente tienen la misma paridad, así que todo es bueno. Si $q,r$ han opuesto a la paridad, a continuación, vamos a necesitar $p$ a ser no sólo un número entero, pero un entero par, y desde $q^2+r^2$ será raro esto requiere de $t$ a un múltiplo de 4.
Poner los trozos juntos, el siguiente procedimiento (1) siempre se obtiene el $a,b$ con AM,GM,HM todos los números enteros y (2) produce todos los posibles,$a,b$:
Elegir enteros positivos $q,r,t$. Si $q,r$ son de enfrente de la paridad, $t$ debe ser un múltiplo de 4; de lo contrario $t$ es libre. Ahora escribo $p=t(q^2+r^2)/2$ y, a continuación,$a=pq^2$$b=pr^2$. (Esto le da $a\neq b$$q\neq r$.)
Veamos un par de ejemplos simples, tratando de hacer que nuestros números pequeños. En primer lugar, con $q,r$ de la misma paridad. Vamos a tratar de $q=1,r=3$. A continuación, $t$ puede ser cualquier cosa; vamos a establecer a 1. Llegamos $p=5$ y, a continuación,$a,b=5,45$. El AM es 25, el GM es de 15, y el HM es 9.
Luego, con $p,q$ de enfrente de la paridad. Vamos a tratar de $q=1,r=2$. A continuación, $t$ tiene que ser un múltiplo de 4; vamos a hacer 4. Llegamos $p=10$ y, a continuación,$a,b=10,40$. El AM es 25, el GM es de 20, y el HM es de 16.
Cuando nuestros números no están obligados a ser números enteros
Como ya he confesado anteriormente, todos de los que se supone que usted desea específicamente sus números de $a,b$ a ser números enteros. Lo que si está feliz por ellos para ser de cualquiera de los números reales? Żcuánto más la libertad que te dan? Quizás menos de lo que piensas; vamos a ver. Una vez más, en la medida de lo posible voy a hacer fácil las cosas y ver a dónde te llevan.
Primero de todo, su AM es un número entero. Llamarlo $n$; de modo que nuestros números se $a=n+d$ $b=n-d$ para algunos (no necesariamente integral) $d$. Ahora el GM $\sqrt{ab}$ es un número entero demasiado, por lo que su plaza de $ab$ sin duda es, por lo $(n+d)(n-d)=n^2-d^2$ es un número entero. Por lo $d$ es la raíz cuadrada de un número entero; digamos que es $\sqrt{m}$. Finalmente, el HM es $\frac{2ab}{a+b}=\frac{ab}n=\frac{n^2-m}n$, lo $m$ es un múltiplo entero de $n$, decir $kn$.
Hasta ahora, hemos descubierto que tenemos $a,b=n\pm\sqrt{kn}$ para algunos enteros $n,k$. La única cosa que no he usado aún es el hecho de que el GM en sí (y no sólo su plaza) es un número entero; es decir, que $n^2-kn=n(n-k)$ es un cuadrado; las condiciones que hemos establecido anteriormente son suficientes para hacer el AM y HM plazas, y el GM de la raíz cuadrada de un número entero. Así, la única condición es que el $n(n-k)$ ser un cuadrado. Así, por ENGAÑAR a 1 arriba, esto es lo mismo que tener $n=pq^2$ $n-k=pr^2$ para los números enteros $p,q,r$.
Así que aquí está la solución general al $a,b$ no tienen que ser enteros:
Elegir enteros positivos $p,q,r$$r<q$. Escribir $n=pq^2$$k=p(q^2-r^2)$. Set $a,b=n\pm\sqrt{kn}$.
Vamos a volver a mirar a un ejemplo sencillo donde los enteros se trata de pequeñas y $a,b$ no sí mismos números enteros. En primer lugar, tome $p=1,q=2,r=1$. A continuación,$n=4$$k=3$, por lo que nuestros números se $4\pm\sqrt{12}$. El AM es 4, el GM es 2; el HM es 1.
