En la reciprocidad de las plazas y de infinitas sumas

Question

Tengo este problema aquí, pero soy incapaz de encontrar una solución adecuada para ello. El problema es el siguiente:

Para cada entero positivo $n$, tomamos $$a_n =\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}$$ We have to prove that $$\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n^2a_na_{n-1}}$$ converge y encontrar su valor. Cualquier sugerencias en la dirección de aproximación es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Sugerencia: $$\frac{1}{n^2a_n a_{n - 1}} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{a_n a_{n - 1}} = (a_n - a_{n - 1}) \frac{1}{a_n a_{n - 1}} = \frac{1}{a_{n - 1}} - \frac{1}{a_n}$$

Answer 2

La convergencia es fácil, ya que $a_n\ge1$ todos los $n$. Para encontrar el valor de observar que $$ \frac{1}{a_n\,a_{n-1}}=n^2\Bigl(\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n}\Bigr). $$