¿Por qué univariante indefinido integrales llevar a la $\mathrm {d}x$?

Question

Entiendo que el $\mathrm {d}x$ tipo de viene de la $(x_i-x_{i-1})$ plazo en las sumas de Riemann de las integrales (como el $\mathrm dg$ de Riemann-Stieltjes integrales), pero cuando se trabaja con las integrales indefinidas, no existen las sumas de Riemann, así que no hay ningún punto en la realización de una $\mathrm {d}x$ para cualquier heurística/pedagógico propósito.

Por lo tanto, ¿por qué le añadimos el$\mathrm dx$$\int f(x)\,\mathrm d x$? Sólo para explicar el cambio de variables teorema (diciendo "$\mathrm dx=g'(u)\,\mathrm du$")?

Answer 1

TL;DR: porque $\newcommand{\d}{\mathrm d}\DeclareMathOperator{id}{id}\displaystyle\int$ es la inversa de a $\d$, no $'$.

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Vamos $$\d f(x)=f'(x)\Delta x\tag{1}\label{eqn1}$$ para algunos lineal de incremento $\Delta x$.

También vamos a $$\id:\:\mathbb R\to\mathbb R$$ ser la identidad de la función tal que $$\id(x)=x;\tag{2}\label{eqn2}$$ enchufe $f=\id$ a $\eqref{eqn1}$ ver $$\d\id(x)=\id'(x)\Delta x=\Delta x\tag{3}\label{eqn3}$$ (aquí el hecho de que $\id'(x)=1$); ahora toma el LHS y RHS de $\eqref{eqn3}$: $$\d\id(x)=\Delta x$$ y el uso de $\eqref{eqn2}$ sobre el lado izquierdo para ver $$\d x=\Delta x,$$ de modo que $\eqref{eqn1}$ reescribe como $$\d f(x)=f'(x)\,\d x.\tag{4}\label{eqn4}$$ Además, se puede observar la siguiente interpretación geométrica.

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Aquí $y=f(x)$, $\mathfrak T=f'(x)$ y $\d x$ es arbitraria en el incremento de la cual $\d y=\d f(x)$ ofrece la mejor aproximación lineal en el punto de $P=x$.

Ahora, tu pregunta. El símbolo $\displaystyle\int$ se define como la inversa del símbolo $\d$: $$\d\int\Phi=\Phi\tag{5}\label{eqn5}$$ para cualquier $\Phi$. Como con muchas, muchas otras operaciones, a la inversa, aquí es multivalor (comparar con $(\,\cdot\,)^2$, por lo que el inverso tiene dos valores: $-\sqrt{\,\cdot}$$\sqrt{\,\cdot\,}$), es decir, que en general son más de una $\int\Phi$ tal que $\d\int\Phi=\Phi$, y, de paso, se puede demostrar que todos ellos difieren por una constante, lo que significa que a pesar de $\d$ cancela con $\int$ limpiamente al $\d$ viene en primer lugar, tenemos que $$\int\d\Phi=\Phi+C\tag{6}\label{eqn6}$$ vale para cualquier constante $C$, como se puede demostrar fácilmente a través de la diferenciación de ambos lados, el hecho de que $\d C=0$ $\eqref{eqn5}$ a cancelar $\int$.

Tomando la antiderivada puede ser representado con el uso del símbolo de $\displaystyle\int$. Vamos a decir, queremos que la primitiva $f$$f'$. De vuelta a $\eqref{eqn4}$: $$\d f(x)=f'(x)\,\d x$$ y aviso si tomamos la inversa de a $\d$ de ambos lados: $$\int\d f(x)=\int f'(x)\,\d x,$$ podemos usar $\eqref{eqn6}$ a cancelar $\d$ sobre el lado izquierdo, lo que nos da $$f(x)+C=\int f'(x)\,\d x,$$ una muy familiarizado identidad.

También, $\eqref{eqn4}$ puede ser de utilidad a la hora de integrar a realizar "$u$-sustitución" sin sustituir nada: $$I=\int x\cos\left(x^2\right)\,\d x=\frac12\int\cos\left(x^2\right)2x\,\d x=\frac12\int\cos\left(x^2\right)\,\d\left(x^2\right),$$ que sólo utiliza $\eqref{eqn4}$ a ha $2x\d x=\d\left(x^2\right)$. Ahora puedes poner $u=x^2$ si agrada a sus ojos: $$I=\frac12\int\cos(u)\,\d u,$$ pero de ninguna manera esto es necesario, como usted puede saber que $\sin'=\cos$) ir directamente a $$I=\frac12\int\cos\left(x^2\right)\,\d\left(x^2\right)=\frac12\sin\left(x^2\right)+C.$$ La regla de la cadena también se pone muy intuitiva con esta notación.

Answer 2

Debido a $\int f(x,y)\, dx$ es diferente de $\int f(x,y)\, dy$

En más de texto avanzados, he visto a $\int f$ siendo utilizado.

Answer 3

Puesto que la integral indefinida se define como el conjunto de antiderivatives de $f$, es decir, $$F: I⊆ℝ\rightarrow ℝ$$ such that $F$ es derivable y se sostiene que: $$\frac{dF(X)}{dx}=F'(X)=f(x) ∀ x\in I$$ $$dF(X)=f(x)dx$$ a continuación, el símbolo de la integral viene de forma natural.

Answer 4

La razón principal de esto es porque la integración es definida* en formas diferenciales. En ese contexto, tenemos que si $F'(x)=f(x)$$dF(x) = f(x)\,dx$. Intuitivamente, esto es expresar que el cambio en la $F$ es proporcional al cambio en el $x$. Es decir, las marcas que tomamos derivados con respecto a las variables, no sólo en el vacío. Esto tiene la conveniente consecuencia de que el cambio de variables como $dx = g'(u)\,du$ realmente son declaraciones formales, con la noción usual de la igualdad.

En un sentido, $dx$ da el derecho de la estructura de a $\mathbb R$, mientras que si se integra con una diferente forma diferenciada - como $u$ - se estaría integrando con respecto a algún tipo de 'acorralado' de la estructura. Por ejemplo, con $du=2dx$ conseguimos que nuestros integrales $\int f(x)\,du$ salir dos veces tan grande como se supone, porque si vamos a reescribir esto, vemos que la $\int f(u/2)\,du$ - y conseguimos $2F(u/2)+C=2F(x)+C$ porque cuando nos integramos con $du$, hicimos $x$ se mueven más lentamente que la variable $u$ que hemos integrado, por lo que hemos contado todo demasiado. Esto no es malo, pero hace que el punto de que nuestro diferencial de las formas que nos están diciendo lo mucho que nos "peso" de cada punto del dominio, y $dx$ nos está dando la debida ponderación.

Esto no quiere decir que no se podía omitir los símbolos y realmente sólo trabajan en funciones de $\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ en la forma obvia - y, en algunos contextos, es útil hacer esto - pero sin duda hay algo de sentido en la inclusión de las $dx$ términos, ya que no expresan algo.

*A veces hay otras nociones de integración. Por ejemplo, en teoría de la medida, a menudo uno tiene que $dx$ especifica la medida que se esté usando. Es decir, si usted tiene algo así como: $$\int f(x)\,dx$$ la función de $f$ asigna valores a cada punto en el espacio $\mathbb R$ y el plazo $dx$ dice que integramos con respecto a la medida de Lebesgue. Esto es lo opuesto a la integración con respecto a, digamos, contando medida, donde acabamos de resumir los valores distintos de cero de a $f$, o cualquier número de otras medidas. Esto es sólo una noción más general de la ponderación de la de dominio.