¿Cómo pensar en los derivados de forma abstracta?

Question

Las derivadas parecen fáciles de entender de forma abstracta como la tasa de cambio de algo, las derivadas de orden superior son la tasa de cambio de la tasa de cambio de algo, y así sucesivamente.

Sin embargo, me cuesta entender qué es una integral en sentido general. Se puede pensar en ella como la suma de los rectángulos infinitamente pequeños de una forma, pero ¿qué es, con respecto a la función inicial? Tampoco entiendo muy bien por qué la integración es la operación inversa de la derivación.

Answer 1

La integración puede verse como un valor medio: si se tiene una función $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ su valor medio es $\int_0^1 f(x) dx$ . Esta idea se puede generalizar a integrales sobre dominios complicados, o para diferentes medidas (si se conoce un poco la teoría de la medida).

Desde el punto de vista de la probabilidad, esto se traduciría como : la expectativa de una variable aleatoria $X$ es la integral $\int_{\Omega} X(\omega) d\mu(\omega)$ , donde $\Omega$ es el conjunto de todos los eventos posibles y $\mu(\omega)$ es la probabilidad del evento $\omega$ . Por ejemplo, si se toma un número al azar $\omega$ entre 0 y 1, la expectativa de sin( $\omega$ ) es $\int_0^1 sin(\omega) d\omega$ .

Otra interpretación es con la velocidad : si te mueves a lo largo de una línea a una velocidad no constante $v(t)$ entonces la distancia alcanzada entre los tiempos $t_0$ y $t_1$ es $\int_{t_0}^{t_1} v(t) dt$ . (la velocidad media es $\frac{\int_{t_0}^{t_1} v(t) dt}{t_1 - t_0}$ ).

Si quiere tener una idea aproximada del vínculo entre la integración (o más precisamente, las primitivas) y la derivación : si dibuja rectángulos delgados, delimitados por $f(a+k h)$ y $f(a+ (k+1) h)$ y sumarlo (esencialmente el método habitual), y llamar al resultado $F$ entonces $F(a+h) - F(a) = h f(a)$ para que $\frac{F(a+h)-F(a)}{h}=f(a)$ . $F$ es aproximadamente una primitiva de $f$ y su derivación "aproximada" es $f$ .

Answer 2

La comprensión intuitiva habitual de la integración es el área bajo una función, o más generalmente, una acumulación de algo. Por ejemplo, aquí hay una representación gráfica de una integral:

$$ s = \int_a^b f(x) dx $$

Es muy importante entender por qué la integral es una especie de "opuesto" a la derivada (esto es, por supuesto, el teorema fundamental del cálculo). Prueba esto: como has dicho, una derivada es una tasa de cambio. Entonces, si consideramos la interpretación gráfica de la integral mostrada arriba, ¿cuál es la tasa de cambio del área? Pues bien, cuanto mayor es la función, más rápido aumenta el área bajo ella, por lo que la tasa de cambio es simplemente el valor de la función. En términos de cálculo, esto significa que la derivada de la integral es la función original.

A la inversa, ¿cuál es la integral de la derivada? La derivada es la tasa de cambio, y la integral es una acumulación. Así que si acumulamos, o recogemos, todos los pequeños cambios a medida que la función avanza; bueno, eso también es sólo la función original.

Espero que estas explicaciones te ayuden, pero ten en cuenta que a medida que trabajes más con estos conceptos y conozcas más resultados que hagan uso de ellos, desarrollarás tu propia comprensión intuitiva de lo que significan. Y esa comprensión será mucho más valiosa que cualquier otra cosa que pueda explicarte.

Answer 3

Para ampliar la respuesta de @smackcrane: Pensemos en un cubo que se está llenando de agua desde un grifo. Podemos pensar en el volumen de agua en el cubo como $V(t)$ medido en galones. Podemos pensar en el agua que sale del grifo como $f(t)$ medido en galones/segundo (hay que tener en cuenta que el caudal puede variar con el tiempo dependiendo de cuánto abramos y cerremos la válvula). Así que, por intuición, la tasa de cambio del volumen es equivalente al caudal que sale del grifo. Así que

$$ f(t) = \frac{d}{dt}V(t).$$

Asegúrate de prestar atención a las unidades.

A la inversa, si queremos saber cuánto volumen es Añadido: al cubo en un minuto, necesitamos acumular el flujo durante un minuto. Es decir, para cada pequeña porción de tiempo de duración $dt$ acumulamos $f(t)dt$ volumen de agua. Si acumulamos estas pequeñas cantidades de agua a lo largo de un minuto obtenemos el nuevo volumen. Así que claramente

$$ V(1) = V(0) + \int_0^1{f(t)dt}.$$

De nuevo, mira las unidades.

En resumen, la derivada nos dice cómo cambia una cantidad en un instante de tiempo y la integración nos dice cómo se acumulan esos cambios a lo largo de una duración finita para dar lugar a una nueva cantidad. Las derivadas nos dan tasas de cantidades. Las integrales nos dan cantidades a partir de tasas.

Answer 4

Una forma muy práctica de pensar en las integrales y las derivadas es pensar en ellas como una forma de cambiar las unidades fijadas a las cantidades medidas:

si $x(t)$ mide la distancia en metros, entonces $x'(t)$ mide la velocidad en $\frac{m}{s}$ y $x''(t)$ mide la aceleración en $\frac{m}{s^2}$ .

Así que vemos que cuando calculamos $\displaystyle\int \left( x''(t) \frac{m}{s^2} \right) dt$ obtenemos $x'(t) \frac{m}{s}$ : hemos multiplicado nuestra unidad de aceleración anterior, $\frac{m}{s^2}$ por la unidad de tiempo, $s$ para obtener la unidad de velocidad, $\frac{m}{s}$ .

Ahora puedes imaginar lo que ocurre si introduces una nueva variable $T$ relacionado con $t$ pero esto $T$ mide minutos en lugar de segundos. Así que $T=1$ corresponde a $t=60$ es decir $T(t)=\frac{t}{60}$ y $t(T) = 60T$ . Aquí el cambio de variables/sustitución de u es útil para determinar cómo se cambian las unidades en estos cálculos.