La definición de un operador acotado en $l^p$

Question

Deje $(c_{jk})_{j,k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C}$ ser tal que $a:=\sup_{k \in \mathbb{N}} \sum_{j \in \mathbb{N}}|c_{jk}|<\infty$ $b:=\sup_{j \in \mathbb{N}} \sum_{k \in \mathbb{N}}|c_{jk}|<\infty$ Demostrar que $$T:l^p \to l^p,(Tx)_j:=\sum_{k \in \mathbb{N}}c_{jk}x_k$$ defines a bounded linear map with $\|T\|\leq a^{\frac{1}{p}}b^{\frac{1}{q}}$ where $p \en (1,\infty)$ and $p$ es su conjugado de Hölder

He pasado un par de horas tratando de demostrar esta desigualdad, pero nada parece funcionar . Ni siquiera puedo probar que T es un operador acotado. Cualquier sugerencias sobre cómo se podría ir sobre la resolución de este ? Empecé a escribir la definición de la norma como

$\|T\|=\sup_{\|x\|_{p}=1}\big(\|Tx\|\big)=\sup_{\|x\|_{p}=1}\big(\sum_{j \in \mathbb{N}} \big(\sum_{j \in \mathbb{N}}c_{jk}x_k \big)^{p} \big)^{1/p}$ Entonces traté de uso del Titular de la desigualdad en el interior de soporte, pero nada parece funcionar . Me refiero a que pueda tratar de escribir lo que he intentado hacer, pero ninguno de mis intentos parecen ir a ninguna parte Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$|T(x)(j)|^p \leqslant \left(\sum_{l\in\mathbf N}|c_{j,l}| \right)^p \left(\sum_{k\in\mathbf N} \alpha_{j,k}|x_k| \right)^p,$$ donde $$\alpha_{j,k}=\frac{|c_{j,k}|}{\sum_{l\in\mathbf N}|c_{j,l}|},$$ por lo tanto, por la desigualdad de Jensen, $$|T(x)(j)|^p \leqslant \left(\sum_{l\in\mathbf N}|c_{j,l}| \right)^p \sum_{k\in\mathbf N} \alpha_{j,k}|x_k|^p=\left(\sum_{l\in\mathbf N}|c_{j,l}| \right)^{p-1} \sum_{k\in\mathbf N} |c_{j,k} ||x_k|^p \leqslant b^{p-1} \sum_{k\in\mathbf N} |c_{j,k}||x_k|^p.$$ Utilizando la definición de $a$, que se derivan de la envolvente de $$\sum_{j\in\mathbf N} |T(x)(j)|^p \leqslant b^{p-1}a\lVert x\rVert_p^p.$$