Calcular $H^1(X,\Bbb{Z}_U)$

Question

Deje $X = \mathbb{A}^1_k$ $k$ infinito y $U = X - \{P,Q\}$ y $\mathbb{Z}_U= i_{!}(\mathbb{Z}|_U)$, $\Bbb{Z}$ la constante de la gavilla. Quiero decir que $H^1(X,\mathbb{Z}_U) \neq 0$. Si es cero, podemos ver la secuencia exacta

$$0 \to H^0(X,\mathbb{Z}_U) \to H^0(X,\mathbb{Z}) \to H^0(X,\mathbb{Z}_{\{P,Q\}} ) \to0$$

donde$\mathbb{Z}_Y$$j_\ast(\mathbb{Z}|_{\{P,Q\}})$. El término medio es $\mathbb{Z}$ pero puedo decir a la derecha plazo es $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$? Parece que es en realidad $\mathbb{Z}$. Estoy confundido.

Answer 1

Desde su gavilla $\mathbb{Z}_{\{P,Q\}}$ es igual a $j_\ast(\mathbb{Z}|_{\{P,Q\}})$, tenemos : $$H^0(X,\mathbb{Z}_{\{P,Q\}} ) =H^0(X, j_\ast(\mathbb{Z}|_{\{P,Q\}}))\stackrel {definition}{=}H^0(\{P,Q\}, \mathbb{Z}_X|_{\{P,Q\}})\stackrel {!}{=} H^0(\{P,Q\}, \mathbb{Z})=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$$ This indeed shows that your displayed sequence is not exact (since $H^0(X,\mathbb{Z})=\mathbb Z$ and $\mathbb Z$ cannot be surjected onto $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$) and thus that necessarily $H^1(X,\mathbb{Z}_U) \neq 0$.

Editar
En realidad, es bastante fácil ver que $ H^1(X,\mathbb{Z})=0 $ (debido a la constante poleas están flasque y por lo tanto acíclicos en irreductible espacios), y que $H^1(X,\mathbb{Z}_U) \cong \mathbb Z$ ya que es el cokernel de la restricción de morfismos $ H^0(X,\mathbb{Z})= \mathbb{Z} \to H^0(\{P,Q\},\mathbb{Z} )=\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}: n\mapsto (n,n)$

Nueva edición
Como se discute en los comentarios que he utilizado que la restricción de un constante gavilla $A_X$ en un espacio de $X$ a cualquier subespacio $Y$ es la constante gavilla $A_Y$ a deducir $H^0(\{P,Q\}, \mathbb{Z_X}|_{\{P,Q\}})\stackrel {!}{=} H^0(\{P,Q\}, \mathbb{Z})$