Por el teorema de la curva de Jordan, si $C \subset S^2$ es (la imagen de) una curva simple cerrada, entonces $S^2 \setminus C$ tiene precisamente dos componentes conectados. Esta afirmación admite la siguiente "inversa".
Inverso del teorema de la curva de Jordan: Supongamos que $M$ es una superficie cerrada y conexa tal que, si $C \subset M$ es una curva cerrada simple, entonces $M \setminus C$ tiene precisamente dos componentes conectadas. Entonces, $M$ es homeomorfo a $S^2$ .
Esta afirmación es un corolario de la clasificación de las superficies .
- Los tori múltiples tienen asas, y es fácil ver que al eliminar un bucle que "agarra" un asa queda un complemento conectado.
- Cualquier superficie no orientable contiene una banda de Mobius, y la banda de Mobius menos su "ecuador" está conectada.
Así, cualquier superficie cerrada y conectada $M$ Además $S^2$ admite una curva simple cerrada $C \subset M$ tal que $M \setminus C$ está conectado.
Mi pregunta es si esto también funciona en dimensiones superiores. ¿Es válida la siguiente "inversión" del teorema de separación de Jordan-Brouwer?
Inverso del teorema de separación de Jordan-Brouwer: Supongamos que $M$ es una zona compacta y conectada $n$ -de la Tierra, sin límites. Supongamos que, para cada copia incrustada $C \subset M$ de $S^{n-1}$ se da la circunstancia de que $M \setminus C$ tiene precisamente dos componentes conectados. ¿Se deduce entonces que $M$ es homeomorfo a $S^n$ ?
