Cómo encontrar el mínimo $\frac{(5y+2)(2z+5)(x+3y)(3x+z)}{xyz}$ Si $x,y,z>0$

Question

dejar $x,y,z>0$ , encontrar el mínimo del valor $$\dfrac{(5y+2)(2z+5)(x+3y)(3x+z)}{xyz}$$

Creo que podemos utilizar la desigualdad AM-GM para encontrarla.

$$5y+2=y+y+y+y+y+1+1\ge 7\sqrt[7]{y^5}$$ $$2x+5=x+x+1+1+1+1+1\ge 7\sqrt[7]{x^2}$$ $$x+3y=x+y+y+y\ge 4\sqrt[4]{xy^3}$$ $$3x+z=x+x+x+z\ge 4\sqrt[4]{x^3z}$$ pero esto no es cierto, porque no se pueden mantener las cuatro igualdades a la vez.

Este problema es de la prueba de la escuela media de China, por lo que creo que tienen sin métodos de Lagrange, por lo que creo que esta desigualdad han AM-GM desigualdad

Answer 1

Aquí hay otra forma, utilizando la desigualdad de Holder: $$\frac{(5y+2)(2z+5)(x+3y)(3x+z)}{xyz} \geqslant \frac{(\sqrt[4]{5y \cdot 5\cdot x\cdot z}+\sqrt[4]{2\cdot2z\cdot3y\cdot3x})^4}{xyz} \\ = (\sqrt5+\sqrt6)^4=241+44\sqrt{30}$$

con igualdad si $\dfrac{5y}2=\dfrac5{2z}=\dfrac{x}{3y}=\dfrac{z}{3x} \iff (x, y, z) = \left(1, \sqrt\frac2{15}, \sqrt\frac{15}2 \right)$ .

Answer 2

Aquí hay otra forma, utilizando AM-GM (ponderado). Yo seguiría prefiriendo Holder (la solución publicada anteriormente) por su simplicidad, esto es sólo para ilustrar que se puede hacer - especialmente si usted sabe el punto de igualdad.

Dejemos que $a = \sqrt{\frac2{15}}$ . Entonces, utilizando el AM-GM ponderado, podemos escribir las siguientes desigualdades. Obsérvese que están construidos de manera que el punto de igualdad se mantiene fácilmente: $$5y+2=5a \cdot \frac{y}a+2 \cdot 1 \ge (5a+2)\left(\frac ya \right)^{\frac{5a}{5a+2}}$$ $$\parallel ly, \quad 2z+5=\frac2a \cdot az+5\cdot1 \ge (\tfrac2a+5)(az)^{\frac2{5a+2}}$$ $$x+3y = 1\cdot x + 3a\cdot\frac{y}a \ge (1+3a)x^{\frac1{3a+1}}\left(\frac ya\right)^{\frac{3a}{3a+1}}$$ $$3x+z = 3\cdot x + \frac1a \cdot az \ge (3+\tfrac1a)x^{\frac{3a}{3a+1}}(az)^{\frac1{3a+1}}$$

Multiplicando el lote, y sustituyendo el valor de $a$ obtenemos $$\dfrac{(5y+2)(2z+5)(x+3y)(3x+z)}{xyz} \ge 241+44\sqrt{30}$$

Answer 3

Dejemos que $$ f(x,y,z)=\log(5y+2)+\log(2z+5)+\log(x+3y)+\log(3x+z)-\log(xyz). $$ Entonces $$ f_x=\frac{-1}{x}+\frac{1}{x+3y}+\frac{3}{3x+z};\\ f_y=\frac{-1}{y}+\frac{3}{x+3y}+\frac{5}{2+5y};\\ f_z=\frac{-1}{z}+\frac{1}{3x+z}+\frac{2}{5+2z}. $$ Así que el rendimiento de los BDCs $$ x=1,\quad y=\sqrt{2/15}, \quad z = \sqrt{15/2}. $$ Con estos valores, la función original se evalúa como $241+44\sqrt{30}$ . Para ser riguroso, puedes verificar los SOC's pero creo que probablemente funcionará. Según FindMinimum de Mathematica, los valores de $x$ , $y$ y $z$ anterior resuelve el problema.

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P.D. Un comentario sobre por qué el ingenuo AM-GM puede no funcionar : Supongamos que se dividen las 4 expresiones según \begin{gather} \frac{x}{m}+\cdots+\frac{x}{m}+\frac{3y}{n}+\cdots+\frac{3y}{n}\tag{i}\\ \frac{3x}{p}+\cdots+\frac{3x}{p}+\frac{z}{q}+\cdots+\frac{z}{q},\tag{ii}\\ \frac{5y}{r}+\cdots+\frac{5y}{r}+\frac{2}{s}+\cdots+\frac{2}{s},\tag{iii}\\ \frac{2z}{c}+\cdots+\frac{2z}{c}+\frac{5}{d}+\cdots+\frac{5}{d}.\tag{iv} \end{gather} Las dos primeras ecuaciones dicen $$ x=\frac{3m}{n}y,\quad z=\frac{3q}{p}x. $$ Se quiere el exponente de $x$ después de aplicar AM-GM para que coincida con el exponente de $x$ en el denominador, que es $1$ Así que $\frac{m}{m+n}+\frac{p}{p+q}=1$ que se simplifica en $\frac{m}{n}=\frac{q}{p}$ . Así que (i) y (ii) implican $$ z=\frac{9m^2}{n^2}y.\tag{A} $$ A continuación, (iii) implica $y=\frac{2r}{5s}$ . Y como queremos $\frac{n}{n+m}+\frac{r}{r+s}=1$ Debe ser que $\frac{r}{s}=\frac{m}{n}$ . Así que (iii) implica $$ y=\frac{2}{5}\frac{m}{n}.\tag{B} $$ Del mismo modo, (iv) implica $z=\frac{5c}{2d}$ con $\frac{c}{d}=\frac{p}{q}$ debido a $\frac{c}{c+d}+\frac{q}{p+q}=1$ . Pero $\frac{p}{q}=\frac{n}{m}$ por lo que (iv) implica $$ z=\frac{5}{2}\frac{n}{m}.\tag{C} $$ Uniendo (A), (B) y (C), vemos que $$ 9\frac{m^2}{n^2}=\frac{z}{y}=\frac{5n}{2m}/\frac{2m}{5n}\implies\frac{9m^2}{n^2}=\frac{25n^2}{4m^2}. $$ Sacando raíces cuadradas y simplificando se obtiene $$ 6m^2=5n^2. $$ Pero ahora tenemos un problema porque $\sqrt{\frac{5}{6}}$ no puede ser racional.

Answer 4

$$f(x,y,z)=\dfrac{(5y+2)(2z+5)(x+3y)(3x+z)}{xyz}$$ $$\nabla f= \frac{(3 (2+5 y) (5+2 z) (x^2-y z))}{(x^2 y z)} \hat e_x+\frac{(-((2 x-15 y^2) (3 x+z) (5+2 z))}{(x y^2 z))}\hat e_y+\frac{(-((x+3 y) (2+5 y) (15 x-2 z^2))}{(x y z^2))}\hat e_z$$ Obtenemos 4 soluciones reales: $$(5/6,-5/18,-5/2),(1,-\sqrt{2/15},\sqrt{15/2}),(1,\sqrt{2/15},\sqrt{15/2}),(6/5,-2/5,-18/5)$$ De los cuales sólo $(1,\sqrt{2/15},\sqrt{15/2})$ es aceptable debido a $x,y,z\ge0$ Ahora el valor de la función en este punto es: $$f(1,\sqrt{2/15},\sqrt{15/2})=241+44\sqrt{30}$$

Answer 5

Una pista:

$5y+2 \geq 2\sqrt{10y}$

$2z+5 \geq 2\sqrt{10z}$

$x+3y \geq 2\sqrt{3xy}$

$3x+z \geq 2\sqrt{3xz}$