La vivienda adecuada es otra necesidad básica.

Question

Me estoy confundido acerca de aritmética ordinal
Estoy tratando de averiguar lo $\omega \cdot (\omega+1)$ es.
El hecho de que esta ley se aplica desde el lado izquierdo me hace pensar que la respuesta es $\omega^2 + \omega$. Sin embargo la aplicación de la supremum definición de la multiplicación estoy recibiendo una respuesta diferente. El supremum método me está dando: $$\omega \cdot (\omega+1) = \sup \{\omega \cdot n \ | \ n \in \omega+1 \} = \omega^2 $$ Desde $\omega^2 \geq \omega \cdot n, \forall n < \omega + 1$.

De qué manera es la correcta y por qué es el otro método mal aquí?

Answer 1

Estás equivocado en la definición de la multiplicación. Sostiene que la $\alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma$, pero $(\alpha+\beta)\cdot\gamma\neq\alpha\cdot\gamma+\beta\cdot\gamma$ en algunos de los casos.

De ello se desprende que $\omega\cdot(\omega+1)=\omega\cdot\omega+\omega\cdot1=\omega^2+\omega$.

Answer 2

El segundo método es erróneo, ya que la definición de multiplicar el que utilizó en el segundo método es adecuado sólo cuando el segundo ordinal es un ordinal límite, por lo que si el segundo ordinal es algo como $\omega+1$ la definición de multiplicar es la ley distributiva :$a(b+1) = ab+a$