Me pregunto por qué $\| u\|_{H_0^1} = \int_{\Omega} |Du|^2$ u $H_0^1(\Omega)$,$\Omega = (-1,1)$? Yo podría estar equivocado, pero no es $\| u\|_{H^1} = \| u\|_{L^2} + \| Du\|_{L^2}$? ¿Cómo es que $\| u\|_{L^2}$ cae cuando el pacto se ha añadido compatibilidad? Sospecho que esto tiene algo que ver con Poincaré del lema, pero no he encontrado hany derivación. Podría ser trivial, pero no lo veo, así que un poco de ayuda sería muy apreciada.
Respuesta
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He decidido poner todos los comentarios en una respuesta. Supongamos que usted ha $\Omega \subset\subset \mathbb{R}^n$, $\|\cdot\|_{W^{1,p}_0}$ $\|\cdot\|_{W^{1,p}_0}$ son equivalentes. Así, por $H^1_0$ $H^1$ obtener $\|u\|_{H^1}=\|u\|_{L^2}+\|Du\|_{L^2}$ $\|u\|_{H^1_0}=\|Du\|_{L^2}$ son equivalentes. Para este caso, usted sólo tiene que utilizar la desigualdad de Poincaré para el "no triviales" la desigualdad. El hecho general de arriba, de la siguiente manera en una similar de la desigualdad.
Para la motivación: Si usted desea solucionar $-\Delta u = f$$u=0$, en el límite, tomar una prueba de función $\phi\in C^\infty_c$, se multiplican ambos lados con $\phi$ e integrar la igualdad:
$$-\int \Delta u \phi=\int\phi f$$
Integración por partes ofrece
$$\int Du D\phi=\int\phi f$$
Definir el espacio de $H^1_0$ como el cierre de la $C^\infty_c$ con respecto al $\|u\|_{H^1_0}=\|Du\|_{L^2}$, se puede probar que $H^1_0$ es un espacio de Hilbert con producto interior $(u,v)=\int Du Dv dx$. Además, el mapa de $\phi\mapsto \int f\phi$ puede ser ampliado continuamente a una asignación de $l^*\in (H^1_0)^*$, donde el último denota el espacio dual de $H^1_0$.
Riezs da el siguiente teorema: Para cada $f\in L^2$ existe exactamente una $u\in H^1_0$ s.t.
$$\int Du Dv = \int f v$$
para todos los $v\in H^1_0$. Tal $u$ se llama una solución débil de la clase $H^1_0$. Más aún, uno puede mostrar que $u\in H^1_0$ implica $u=0$ $\partial \Omega$ en un adecuado sentido, ver rastro de operador.
