Propiedad de homología

Question

Tengo esta proposición, y tengo dos preguntas:

1) por $H_k=\text{Im} i_*\oplus \ker r_*$ ?

2) Por $j_*: \ker r_*\rightarrow H_k(X,A)$ ?

Editar:

Para el segundo, trato de la 1º teorema de isomorfismo, y me encontré con que hay un isomorfismo entre el$H_k(X)/\ker j∗$$H_k(X,A)$, y no sé cómo aparecer $\ker r∗$ en el lugar de $H_k(X)/\ker j∗$.

Answer 1

El truco para hacer (1) va como esta. Si usted tiene $x \in H_k(X)$, que se aplican $ir$ conseguir $ir(x) \in im i_*$. Lo bueno es que usted puede, a continuación, sólo tiene que marcar la $x - irx$ está en el núcleo de $r$, y por lo $x = irx + (x - irx)$ es su descomposición. Para ver la directa, que tome $0 = iy + z$. A continuación, aplicar la $r$, obtenemos $0 = riy = y$, y por lo que la suma es directa. La misma idea le permite escribir cosas en split corto exacta secuencias como sumas.

Para (2), mediante su observación desde el primer teorema de isomorfismo que usted pone en la edición: \begin{align*} H_k(X,A) &\cong H_k(X)/(\ker j_*) \\ &= (\ker r_* \oplus im i_*)/(\ker j_*) \\ &= (\ker r_* \oplus \ker j_*)/(\ker j_*) \\ &= \ker r_* \end{align*} Nota donde hemos utilizado la exactitud de la condición de $im i_* = \ker j_*$.

Answer 2

Esta es una aplicación de los resultados de álgebra homológica, que es:
Si $0\to N\stackrel{i}{\to} M\stackrel{j}\to P\to 0$ es una secuencia exacta y $r:M\to N$ tal que $r\circ i=id_{N}$$\ker r\simeq P$$\text{Im}(i)\simeq N$, e $M=\text{Im}(i)\oplus \ker r \simeq N\oplus P$.

Prueba:
Debido a $i$ es inyectiva tenemos $\text{Im}(i)\simeq N$.
Para $\ker r \simeq P$ es suficiente para mostrar que el $j:\ker r\to P$ es un isomorfismo: si $x\in \ker r$ tal que $j(x)=0$ $x\text{Im}(i)$ por lo tanto, no existe $y\in N$ tal que $x=i(y)$, pero $y=r(i(y))=r(x)=0$. para el surjectivity, vamos a $z\in P$ existe $x\in M$ tal que $y=j(x)$$x'=i(r(x))$,$r(x-x')=r(x)-r(i(r(x)))=r(x)-r(x)=0$, por lo tanto $x-x'\in \ker r$$j(x-x')=j(x)-j(i(r(x)))=j(x)=z$.
Para $M=\text{Im}(i)\oplus \ker r$: vamos a $y\in \text{Im}(i)\cap \ker r$ existe $x\in N$ tal que $y=i(x)$ , sa $0=r(y)=r(i(x))=x$ tenemos $y=i(x)=i(0)=0$.
Deje $y\in M$, y establecer$x=r(y)$, $x=i(r(y))\in \text{Im}(i)$ hemos $r(y-x)=r(y)-r(i(r(y)))=r(y)-r(y)=0$ ,$z=y-x\in \ker r$, ahora tenemos $yx+z$ $x\in \text{Im}(i)$ $z\in \ker r$.