Como se ha mencionado en los comentarios, este es probablemente más fácil de demostrar mediante el uso de fórmulas para las sumas de las potencias. Sin embargo, si desea proceder por inducción, entonces usted podría hacer algo como esto:
Su fórmula es equivalente a la afirmación de que $P(n)$ es cierto para todos los $n\in\mathbb N$, donde
$$
P(n):(3n+1)\sum_{k=1}^n k(k+1)^2-(3n+5)\sum_{k=1}^n k^2(k+1)=0
$$
Yo se lo dejo a usted para demostrar que $P(1)$ es cierto (que no parece ser el problema). Suponga que $P(n)$ es cierto para algunos $n\in\mathbb N$. El lado izquierdo de $P(n+1)$ es el dado por
$$
(3n+4)\sum_{k=1}^{n+1}k(k+1)^2-(3n+8)\sum_{k=1}^{n+1}k^2(k+1)
$$
que es igual a (aquí podemos dividir las sumas en la primera $n$ términos y el último)
$$
(3n+4)\Bigl[\sum_{k=1}^n k(k+1)^2+(n+1)(n+2)^2\Bigr]-(3n+8)\Bigl[\sum_{k=1}^n k^2(k+1)+(n+1)^2(n+2)\Bigr].
$$
Siguiente, ya $P(n)$ fue asumido para ser verdad, cancelamos $3n+1$ veces la suma en el primer tramo con $3n+5$ veces la suma en el segundo soporte. Por lo tanto, la expresión de arriba es igual a
$$
3\sum_{k=1}^n\bigl[k(k+1)^2-k^2(k+1)\bigr]+(n+1)(n+2)\bigl[(3n+4)(n+2)-(3n+8)(n+1)\bigr]
$$
que se simplifica a
$$
3\sum_{k=1}^n k(k+1)-n(n+1)(n+2).
$$
Bien sabemos que esto pasa a ser cero, o no. Si no lo hacemos, lo demostramos por inducción. Por lo tanto, vamos a $Q(n)$ ser la afirmación de que la expresión anterior es igual a cero. Es fácil comprobar que $Q(1)$ es cierto. A continuación, si $Q(n)$ algunos $n\in\mathbb N$ es cierto, yo.e si
$$
3\sum_{k=1}^n k(k+1)=n(n+1)(n+2),
$$
entonces nos encontramos con que
$$
3\sum_{k=1}^{n+1}k(k+1)=n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)(n+3),
$$
lo que significa que $Q(n+1)$ es cierto. Llegamos a la conclusión de que la inducción por que $Q(n)$ es cierto para todos los $n\in\mathbb N$ y, por consiguiente (por la inducción de nuevo) que $P(n)$ es cierto para todos los $n\in\mathbb N$.
