Demostrar que $\sim$ define una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}$.

Question

Para $a,b \in \mathbb{R}$ definir $a \sim b$ si $a - b \in \mathbb{Z}$

No entiendo cómo voy a suponer para probar esto:

Demostrar que $\sim$ define una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}$

También me puede ayudar con la búsqueda de la equivalencia de la clase de 5. En otras palabras, lo que estoy tratando de describir es el conjunto $[5]$ = {$y : 5 \sim y$}. Y $[5]$ es sólo el nombre de la serie.

Edit: por Favor, lea mi comentario de abajo (un intento de resolver este problema) żtiene algún sentido? Lo siento si sueno muy tonto soy nuevo en estas cosas.

Answer 1

Usted necesita para comprobar 3 cosas :

1. Reflexividad : $a\sim a$ porque $a-a = 0 \in \mathbb{Z}$

2. Simetría : $a\sim b$ implica que el $a-b\in \mathbb{Z}$, y por lo $b-a\in \mathbb{Z}$ y, por tanto, $b\sim a$

3. Transitividad : Si $a\sim b$$b\sim c$,$a-b, b-c\in \mathbb{Z}$, y por lo tanto $$ a-c = a-b + b-c \in \mathbb{Z} $$ Por lo $\sim$ es una relación de equivalencia.

Ahora, $[5] = \{a \in \mathbb{Z} : 5-a\in \mathbb{Z}\} = ?$

Answer 2

Cada relación en un conjunto $X$ que se define como $x \sim y$ fib $f(x)=f(y)$ para algunos la función $f:X\to A$ donde $A$ es de otro conjunto, debe ser una relación de equivalencia sólo porque la igualdad es una relación de equivalencia.

En tu ejemplo, $X=A=\mathbb R$ $f(x)=$ la parte fraccionaria de $x$.