la fórmula de legendre en la teoría de los números

Question

Demostrar que $(k!)^{(k-1)!}$ divide $(k!)!$ (k es un número entero positivo no nulo). Conozco la fórmula de Legendre para contar la potencia de p en $n!$ para cualquier primo p, pero aquí tenemos $(k!)!$ y no puedo establecer una fórmula útil para que ayude a probar este problema. Les agradecería su ayuda.

Answer 1

Si $\ n=(k-1)!\ $ entonces $$\frac{(k!)!}{(k!)^{(k-1)!}}=\frac{(nk)!}{(k!)^n}=\binom{nk}{k,k,k,\dots,k}=\binom kk\binom{2k}k\binom{3k}k\cdots\binom{nk}k$$ que es, por supuesto, un número entero.