$x^2+1$ es casi siempre la plaza libre

Question

Parece como $x^2+1$ es casi siempre la plaza libre. Cualquier investigación o heurística ¿por qué?

Traté de romper el problema en la solución de $$x^2-ky^2=1$$ Para varios $k$, y suponemos que para cada $k$ hay en la mayoría de un número finito de soluciones a la ecuación de Diophantine. Estoy bastante seguro de que esto es correcto, pero no saben cómo demostrarlo. Alguna idea sobre mis dos problemas?

Answer 1

La ecuación $$x^2-ky^2=1$$ para los no-cuadrado de $k$ es conocida como la ecuación de Pell. Lagrange demostró que cada ecuación de Pell tiene una infinidad de soluciones. Por otra parte, si $(x_0,y_0)$ es el más pequeño no trivial solución positiva, todo entero soluciones son implícitamente da por $$x+y\sqrt k=\pm\,(x_0+y_0\sqrt k)^n\;, \qquad n\in\mathbb Z.$$ Como se puede ver, las soluciones generadas por esta fórmula de rápidamente convertido en muy grandes, por lo que es natural suponer que sólo hay un número finito de soluciones. Para $k=991$, la más pequeña de la solución es $$y=12,055,735,790,331,359,447,442,538,767,$$ lo que demuestra que los más pequeños de la solución todavía puede ser muy grande. (se encuentra aquí, en realidad José Rotman de Un Primer Curso en Albegra: con aplicaciones)
Tenga en cuenta que para la plaza de $k=m^2$ la ecuación se convierte en $(x+my)(x-my)=1$, que en la mayoría de los $2$ soluciones.

Con respecto a la plaza -, libertad de $x^2+1$, he encontrado este papel por D. R. Heath-Marrón en arXiv, dando asymptotics para el número de $x$ que $x^2+1$ es la plaza libre. Resulta que estos números tienen distinto de cero asintótica de densidad igual a $$\frac12\prod_{p\equiv1\pmod4}\left(1-\frac2{p^2}\right).$$

Answer 2

No es cierto que $x^2+1$ es casi siempre la plaza libre. Por si $x\equiv 7\mod{25}$, $x^2+1$ es divisible por $25$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $x^2 + 1$ nunca es divisible por $4$ o por cualquier prime $q \equiv 3 \pmod 4,$, por tanto, no por $q^2$ tales $q.$ sin Embargo, para cualquier prime $p \equiv 1 \pmod 4,$ hay dos raíces cuadradas de $-1 \pmod {p^2},$, y para un número, llame a $k,$ no sólo es $k^2 + 1$ divisible por $p^2,$ para cualquier entero $n$ tenemos $(k + n p^2)^2 + 1 $ es divisible por $p^2.$

Aquí están las $x^2 + 1$ $x \leq 500$ que son divisibles por un cuadrado más grande que $1.$ Como se puede ver, por $x = 7,18 + 25n$ obtenemos $x^2 + 1 \equiv 0 \pmod {5^2}.$ $x = 70,99 + 169n$ obtenemos $x^2 + 1 \equiv 0 \pmod {13^2}.$ $x = 38,251 + 289n$ obtenemos $x^2 + 1 \equiv 0 \pmod {17^2}.$ $x = 41,800 + 841n$ obtenemos $x^2 + 1 \equiv 0 \pmod {29^2}.$ $x = 117,1252 + 1369n$ obtenemos $x^2 + 1 \equiv 0 \pmod {37^2}.$

7  50 = 2 cdot 5^2     
18  325 = 5^2 13     
32  1025 = 5^2 41     
38  1445 = 5 cdot 17^2     
41  1682 = 2 cdot 29^2     
43  1850 = 2 cdot 5^2 37     
57  3250 = 2 cdot 5^3 13     
68  4625 = 5^3 37     
70  4901 = 13^2 29     
82  6725 = 5^2 269     
93  8650 = 2 cdot 5^2 173     
99  9802 = 2 cdot 13^2 29     
107  11450 = 2 cdot 5^2 229     
117  13690 = 2 cdot 5 cdot 37^2     
118  13925 = 5^2 557     
132  17425 = 5^2 cdot 17 41     
143  20450 = 2 cdot 5^2 409     
157  24650 = 2 cdot 5^2 cdot 17 29     
168  28225 = 5^2 1129     
182  33125 = 5^4 53     
193  37250 = 2 cdot 5^3 149     
207  42850 = 2 cdot 5^2 857     
218  47525 = 5^2 1901     
232  53825 = 5^2 2153     
239  57122 = 2 cdot 13^4     
243  59050 = 2 cdot 5^2 1181     
251  63002 = 2 cdot 17^2 109     
257  66050 = 2 cdot 5^2 1321     
268  71825 = 5^2 cdot 13^2 17     
282  79525 = 5^2 3181     
293  85850 = 2 cdot 5^2 cdot 17 101     
307  94250 = 2 cdot 5^3 cdot 13 29     
318  101125 = 5^3 809     
327  106930 = 2 cdot 5 cdot 17^2 37     
332  110225 = 5^2 4409     
343  117650 = 2 cdot 5^2 cdot 13 181     
357  127450 = 2 cdot 5^2 2549     
368  135425 = 5^2 5417     
378  142885 = 5 cdot 17 cdot 41^2     
382  145925 = 5^2 cdot 13 449     
393  154450 = 2 cdot 5^2 3089     
407  165650 = 2 cdot 5^2 3313     
408  166465 = 5 cdot 13^2 197     
418  174725 = 5^2 cdot 29 241     
432  186625 = 5^3 1493     
437  190970 = 2 cdot 5 cdot 13^2 113     
443  196250 = 2 cdot 5^4 157     
457  208850 = 2 cdot 5^2 4177     
468  219025 = 5^2 8761     
482  232325 = 5^2 9293     
493  243050 = 2 cdot 5^2 4861     
500  250001 = 53^2 89     
jagy@phobeusjunior:~$ 

El programa más fácil para la Pell de la ecuación es la de Lagrange-Gauss ciclo método, sin decimales de exactitud que se requiere y no "ciclo de detección" es necesario. En todos los otros aspectos, es el mismo de fracciones continuas. Aquí es $991:$

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./Pell 991


0  form   1 62 -30   delta  -2
1  form   -30 58 5   delta  12
2  form   5 62 -6   delta  -10
3  form   -6 58 25   delta  2
4  form   25 42 -22   delta  -2
5  form   -22 46 21   delta  2
6  form   21 38 -30   delta  -1
7  form   -30 22 29   delta  1
8  form   29 36 -23   delta  -2
9  form   -23 56 9   delta  6
10  form   9 52 -35   delta  -1
11  form   -35 18 26   delta  1
12  form   26 34 -27   delta  -1
13  form   -27 20 33   delta  1
14  form   33 46 -14   delta  -3
15  form   -14 38 45   delta  1
16  form   45 52 -7   delta  -8
17  form   -7 60 13   delta  4
18  form   13 44 -39   delta  -1
19  form   -39 34 18   delta  2
20  form   18 38 -35   delta  -1
21  form   -35 32 21   delta  2
22  form   21 52 -15   delta  -3
23  form   -15 38 42   delta  1
24  form   42 46 -11   delta  -4
25  form   -11 42 50   delta  1
26  form   50 58 -3   delta  -20
27  form   -3 62 10   delta  6
28  form   10 58 -15   delta  -4
29  form   -15 62 2   delta  31
30  form   2 62 -15   delta  -4
31  form   -15 58 10   delta  6
32  form   10 62 -3   delta  -20
33  form   -3 58 50   delta  1
34  form   50 42 -11   delta  -4
35  form   -11 46 42   delta  1
36  form   42 38 -15   delta  -3
37  form   -15 52 21   delta  2
38  form   21 32 -35   delta  -1
39  form   -35 38 18   delta  2
40  form   18 34 -39   delta  -1
41  form   -39 44 13   delta  4
42  form   13 60 -7   delta  -8
43  form   -7 52 45   delta  1
44  form   45 38 -14   delta  -3
45  form   -14 46 33   delta  1
46  form   33 20 -27   delta  -1
47  form   -27 34 26   delta  1
48  form   26 18 -35   delta  -1
49  form   -35 52 9   delta  6
50  form   9 56 -23   delta  -2
51  form   -23 36 29   delta  1
52  form   29 22 -30   delta  -1
53  form   -30 38 21   delta  2
54  form   21 46 -22   delta  -2
55  form   -22 42 25   delta  2
56  form   25 58 -6   delta  -10
57  form   -6 62 5   delta  12
58  form   5 58 -30   delta  -2
59  form   -30 62 1   delta  62
60  form   1 62 -30

 disc   3964
Automorph, written on right of Gram matrix:  
5788591406539787767296194303  361672073709940783423276163010
12055735790331359447442538767  753244210407084073508733597857


 Pell automorph 
379516400906811930638014896080  11947234168218377212415555918097
12055735790331359447442538767  379516400906811930638014896080

Pell unit 
379516400906811930638014896080^2 - 991 * 12055735790331359447442538767^2 = 1 

=========================================

991       991

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$