Demostrar la convergencia de usar $\varepsilon$-$N$ definición

Question

Este es un ejemplo presentado por la profesora en clase. Entiendo que la idea detrás de este tipo de definición, pero estoy teniendo problemas para seguir mi profesor el proceso de pensamiento.

Debemos demostrar que el $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n-1}{n^2} = 0$ el uso de la $\varepsilon$-$N$ definición de límite de una secuencia.

Así, el límite anterior es cierto iff $\forall \varepsilon>0,\ \exists N(\varepsilon)>0 : \forall n \ ( n \geq N \Rightarrow |f(n) - 0| < \varepsilon)$.

Ahora, la manera en que yo entiendo es que si se demuestra que la instrucción condicional por la elección de un adecuado $N$, hemos probado el límite.

Así que primero nos fix$\varepsilon>0$, ya que es dado, y jugar con $$\displaystyle \left| \frac{2n-1}{n^2} \right| < \varepsilon $$ $$|2n-1| < \varepsilon \ n^2 .$$

Tomamos nota de que $|2n-1|<|2n|$ a que se sienta bien conmigo.

Sin embargo, mi profesor, a continuación, las razones que $|2n-1|<|2n|<\varepsilon \ n^2$$2n < \varepsilon \ n^2$.

¿Cómo podemos saber que $2n < \varepsilon \ n^2$? Si epsilon es muy pequeño, no hay un punto en el que esta desigualdad no es cierto? Esto es lo que me molesta.

Desde que llegamos a la conclusión de que $\displaystyle n>\frac{\varepsilon}{2}$ y elija $\displaystyle N=\frac{\varepsilon}{2}$, de modo que

$$n \geq \frac{\varepsilon}{2} \Rightarrow \left| \frac{2n-1}{n^2} \right| < \varepsilon$$

siempre es verdadera. Y eso es cierto si el límite es válido, por lo que el límite es cierto.

Me gustaría saber si mi comprensión de esta definición es correcta, y si alguien puede que me explique el razonamiento detrás de las desigualdades anteriores.

Muchas gracias!

Answer 1

Te voy a dar otra manera de pensar. En lugar de poner el $\epsilon$ allí desde el principio, mi enfoque siempre es simplemente encontrar una cota superior para $|a_n - L|$, y luego mira a la figura hacia fuera qué condiciones pone encima de $n$ a garantizar que esta obligado está a menos de $\epsilon$.

Su secuencia es $(a_n)$ donde $a_n = (2n-1)/n^2$. Ahora, queremos enlazado $|a_n - 0|$ y mira que el obligado a ver lo $n$ debe ser más grande que con el fin de hacer menos de $\epsilon$.

Desde $n \geq 1$ tenemos que $2n - 1 > 0$$|a_n| = a_n$, en otras palabras, podemos mirar sólo a $(2n-1)/n^2$. Ahora, este es el mismo como

$$\dfrac{2n-1}{n^2}=2\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2},$$

Ahora, mire, eso $-1/n^2 < 0$ siempre, por lo que

$$\dfrac{2n-1}{n^2} <\dfrac{2}{n}$$

Ahora, ¿qué $n$ ser greather que con el fin de hacer menos de $\epsilon$. Por supuesto, si $n > 1/\epsilon$,$1/n < \epsilon$, sin embargo hay un $2$ no, por lo que tomar el cuidado de él tomamos $n > 2/\epsilon$, ahora cuando dividimos por $n$ obtenemos $1/n < \epsilon/2$, y por lo tanto la condición de la siguiente manera. Por tanto, y dado $\epsilon > 0$ si $n > 2/\epsilon$ tenemos que

$$\left|\dfrac{2n-1}{n^2}-0\right|=\dfrac{2n-1}{n^2}=\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{2}{n} <\epsilon$$

y, por tanto, $a_n \to 0$ al $n\to \infty$.

Answer 2

Su profesor no es la conclusión de que $|2n|<\varepsilon n^2$, pero en su lugar se observa que es suficiente para tener $|2n|<\varepsilon n^2.$

No es cierto para todos los $n,$ pero cuando es verdadero, usted tendrá $\left|\frac{2n-1}{n^2}\right|<\varepsilon.$, En particular, es cierto que cada vez tenemos $n>\frac2\varepsilon.$