Derivado de la $d(x,A)$

Question

Para $A \subseteq \mathbb{R}$, definir $$d(x, A) = \inf_{y \in A}|x-y|.$$ Deje $A \subseteq \mathbb{R},$ definir $f : \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty)$ por $$f(x) = d(x, A).$$ Then I can show that, for any $x, y$, $$|f(x) - f(y)| < |x - y|.$$ So $f$ is Lipschitz which yields that $f$ is of bounded varition. So $f'$ existe en casi todas partes.

Necesito mostrar que para $x$ tal que $f'(x)$ existe, $f'(x) \in \{-1, 0, 1\}.$

$\textbf{Attemp}$ Sé que $f(x) = 0 \leftrightarrow d(x, A) = 0 \leftrightarrow x \in \ \mbox{cl} \ A$ donde $\mbox{cl} \ A$ es la clausura del conjunto de $A$. Desde $$ \frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} \leq 1$$ for any $x,y \in \mathbb{R} ,$ then $|f'(x)| \leq 1.$

Específicamente, $$f'(x) = \lim_{y \rightarrow x} \frac{f(x) - f(y)}{x-y} .$$

Si $x \in \ \mbox{cl} \ A,$ $f(x) = 0.$ Entonces existe una secuencia $\{x_n\}$ tal que $x_n \in A$ $x_n \rightarrow x.$ $f(x_n) = 0$ todos los $n$. Esto produce que el $f(x) - f(x_n) = 0$ todos los $n$. Desde $f'(x)$ existe, $$\lim_{y \rightarrow x} \frac{f(x) - f(y)}{x-y} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f(x) - f(x_n)}{x - x_n} = 0.$$

Ahora $x \not\in \ \mbox{cl} \ A.$ no estoy seguro de cómo proceder en este caso.

Cualquier ayuda o sugerencia ?

Answer 1

si $x\notin A$

$\exists a\in \bar A: d(x,a) = d(x, A) = f(x) = |x-a|$

es decir, $a$ es el elemento en el cierre de $A$ que es la más cercana a $x.$

Si hay una pelota alrededor de $x$ de manera tal que todos los $y\in B_\delta(x)$

$d(y,a) = d(y,A)$

A continuación, $\frac {|f(x) - f(y)|}{|x-y|} = \frac {x-y}{|x-y|} = \pm 1$

y si no $f'(x)$ no existe.