Una variedad $X$ se llama normal si para cualquier punto $P$$\in$$X$ ,el anillo local $\mathbb{O}_P$ es un integralmente anillo cerrado. Demostrar que cualquier cónica en $\mathbb{P}^2$ es normal.
Aquí está mi intento: Utilice el hecho de que cualquier cónica en $\mathbb{P}^2$ es isomorfo a $\mathbb{P}^1$. Así que ahora tengo que mostrar para cualquier punto $P$$\in$$\mathbb{P}^1$ ,el anillo local $\mathbb{O}_P$ es un integralmente anillo cerrado. Más de $\mathbb{P}^1$, el anillo local $\mathbb{O}_P$ es isomorfo a $k[x_{0},x_{1}]_{(m_{P})}$ que es el cero degee pieza de la localización en $m_{p}$=[$f$$\in$$k[x_{0},x_{1}]$|$f$ homogénea y $f(P)$=$0$]. Por lo tanto, tengo que mostrar el anillo local $k[x_{0},x_{1}]_{(m_{P})}$ es integralmente cerrado. Sé UFD es integralmente cerrado. Pero, ¿cómo puedo demostrar que este anillo local es una unidad flash usb? O hay otra manera de probar la conclusión?