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Demostrar que cualquier cónica en $\mathbb{P}^2$ es normal.

Una variedad $X$ se llama normal si para cualquier punto $P$$\in$$X$ ,el anillo local $\mathbb{O}_P$ es un integralmente anillo cerrado. Demostrar que cualquier cónica en $\mathbb{P}^2$ es normal.

Aquí está mi intento: Utilice el hecho de que cualquier cónica en $\mathbb{P}^2$ es isomorfo a $\mathbb{P}^1$. Así que ahora tengo que mostrar para cualquier punto $P$$\in$$\mathbb{P}^1$ ,el anillo local $\mathbb{O}_P$ es un integralmente anillo cerrado. Más de $\mathbb{P}^1$, el anillo local $\mathbb{O}_P$ es isomorfo a $k[x_{0},x_{1}]_{(m_{P})}$ que es el cero degee pieza de la localización en $m_{p}$=[$f$$\in$$k[x_{0},x_{1}]$|$f$ homogénea y $f(P)$=$0$]. Por lo tanto, tengo que mostrar el anillo local $k[x_{0},x_{1}]_{(m_{P})}$ es integralmente cerrado. Sé UFD es integralmente cerrado. Pero, ¿cómo puedo demostrar que este anillo local es una unidad flash usb? O hay otra manera de probar la conclusión?

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Nir Puntos 136

No es cierto en general que una cónica en $\mathbb P^2_k$ es normal, si por cónica que te refieres a la curva definida por una constante polinomio homogéneo $f(X,Y,Z)\in k[X,Y,Z]\setminus k$ de degreee $2$.
Por ejemplo, los polinomios $f_1(X, Y, Z)=X^2-Y^2$ o $f_2(X, Y, Z)=X^2$ o $f_3(X,Y,Z)=X^2+Y^2+Z^2=(X+Y+Z)^2$ en el carácter $2$ todos definir la no-normal cónicas.

Sin embargo, si $k$ es algebraicamente cerrado de campo y el polinomio $f$ es irreducible, entonces la cónica $C=V(f)\subset \mathbb P^2_k$ es normal.
La mayoría de los geométricas manera de ver esto es simplemente para proyecto de las cónicas a partir de uno de sus puntos de $P\in C$ a una línea de $l\subset \mathbb P^2_k$ no va a través de $P$ ( $P\notin l$ ) y cuenta con alegría que esto produce un isomorfismo $C\cong \mathbb P^1_k$. (Detalles en Mumford, un libro rojo, páginas 11-12 y 15-16 ) .
Desde $\mathbb P^1_k$ es normal, esto implica que $C$ es normal.

3voto

CGH Puntos 11

Usted puede probar que $k[x_0,x_1]$ es integralmente cerrado. Demostrar que si un anillo de $A$ es integralmente cerrado, entonces cualquier localización $S^{-1} A$ es integralmente cerrado.

Edit: Como se ha señalado por Fredrik Meyer, se debe decir que usted está considerando una suave cónica en $\mathbb{P}^2$. El otro tipo de cónica en $\mathbb{P}^2$ es una unión de dos líneas, por lo que no es ni siquiera una variedad (suponiendo que requieren una variedad irreducible). (Si usted trabaja con esquemas, hay un tercer caso - una doble línea, es decir, el cero esquema de la homogénea ideal en $k[x_0,x_1,x_2]$ de los cuadrados de una forma lineal.)

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