Cómo definir un aumento de la secuencia de aditivo de valores

Question

Digamos que tengo la siguiente secuencia:

25, 50, 75, 100, 125, 150

Cada vez que, los 25 es añadido al valor anterior.

Ahora, digamos que tengo una versión acumulativa de esto:

25, 75, 150, 250

Puedo definir este uso de la secuencia de Fibonacci?

¿Cómo puedo encontrar el n-ésimo término, y lo que es más importante, ¿cómo puedo encontrar la cantidad de términos que puede caber en hasta que llega a un máximo número?

Answer 1

En el "acumulativa" versión de su secuencia, las diferencias entre los términos sucesivos aumenta linealmente: $75 - 25 = 50$,$150 - 75 = 75$, $250-150 = 100$ ... cada diferencia es $25$ mayor que el anterior. Esto significa que la secuencia puede ser instalado por una ecuación cuadrática.

Deje que el cuadrática ser $an^2 + bn + c$. Se debe dar a los términos de la secuencia, el uso de $n=0,1,2,\, ...$

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Sólo tenemos que conectar los tres primeros valores de $n$ obtener la información suficiente para encontrar la ecuación cuadrática:

\begin{align} a(0)^2 + b(0) + c &= 25\\\\ a(1)^2 + b(1) + c &= 75\\\\ a(2)^2 + b(2) + c &=150\\ \end{align}

La primera ecuación nos dice que el $c=25$. El segundo y el tercero juntos puede ser resuelto a dar a $a=25/2$$b=75/2$.

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Por lo tanto, la ecuación cuadrática que queremos es $$\boxed{\frac{25}{2}n^2 + \frac{75}{2}n + 25\,}$$

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Sólo para asegurarse de que no haya lío nada, el uso de $n=3$ cheque:

$$\frac{25}{2}(3)^2 + \frac{75}{2}(3) + 25$$

Esto hace igual $250$, como debe ser.

Answer 2

La secuencia original es $a_n=25n$. La "secuencia acumulativa" es $$ b_n=\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n 25k=25\sum_{k=1}^n k =25\frac{n(n+1)}{2} $$ Ejemplo: para $n=4$, $$ 25\frac{4\cdot 5}{2}=250 $$ Ver Triangular cantidad para la fórmula.

Ahora es fácil decidir cuál es el entero más grande para que $b_n\le M$ donde $M$ es fijo: sólo resolver $$ 25n^2+25n-2M\le 0 $$ lo que sucede por $$ n\le\frac{\sqrt{625+200M}-25}{50} $$ la resolución de una simple desigualdad cuadrática.

Answer 3

y lo que es más importante, ¿cómo puedo encontrar la cantidad de términos que puede caber en hasta se golpea con un número máximo

La suma de la secuencia es

$S_n=k\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}\quad |\cdot 2\quad |:k$

$n$ es el número de los términos y $k\in \mathbb N$ es una constante arbitraria.

$\frac{2S_n}k=n\cdot (n+1)$

$\frac{2S_n}k=n^2+n$

Completando el cuadrado

$\frac{2S_n}k=(n^2+n+\frac14)+\frac14 \quad |-\frac14$

$\frac{2S_n}k-\frac14=(n+0.5)^2 \quad |\sqrt{()}$

Tomamos el positivo de la raíz sólo desde $n$ es positivo.

$\sqrt{\frac{2S_n}k+\frac14}=n+0.5 \quad |-0.5$

$$\boxed{-0.5+\sqrt{\frac{2S_n}k+\frac14}=n}$$

Se puede decir que el $S_n$ es el número máximo. Si $k=25$$S_n=1000$, entonces usted puede calcular cuántos términos se pueden sumar.

$n\leq -0.5+\sqrt{\frac{2000}{25}+\frac14}=8.45...$

Puesto que n es un número entero que se puede resumir 8 términos:

$25+50+75+100+125+150+175+200=25\cdot \frac{8\cdot 9}{2}=900$

Si a usted le agregue el siguiente plazo ($225$) de la suma de la secuencia sería mayor que $1000$.