Pregunta acerca de la norma de homomorphism en Banachalgebras

Question

Actualmente estoy leyendo un libro donde se dice que si $A$ es unital álgebra de banach, entonces cada homomorphism $\phi: A \to \mathbb{C}$ tiene norma $1$ o es $0$, yo.e $\|\phi\|=1$ o $\phi=0$.

Yo sé lo que es un homomorphism pero es posible que alguien me explique qué es exactamente la norma de un homomorphism es?

y ¿cómo puede ser demostrado que es siempre o $1$ o $0$?

Answer 1

Si $\phi:A \to \mathbb{C}$ es continuo, su norma se define como el menor número de $C > 0$ tal que $$ \lvert \phi(a) \rvert \leq C \lVert un \rVert. $$ Esta es la definición de la misma como para cualquier operador lineal entre espacios de Banach. Equivalentemente, también tiene $$ \lVert \phi \rVert = \sup \{ \lvert \phi(a) \rvert : \a, \lVert un \rVert =1\}. $$

Ahora vamos a comprobar que $\phi$ tiene una norma por la contradicción. Supongo que hay algo de $a \in A$ tal que $\lvert \phi(x) \rvert > \lVert x \rVert$. Entonces tenemos que $\phi(a) I - a$ es invertible en a $A$. Esto es debido a la siguiente lema

Deje $A$ ser un unital álgebra de Banach y $x \in A$. Si $\lambda \in \mathbb{C}$$\lvert \lambda \rvert > \lVert x \rVert$, $\lambda$ no está contenida en el espectro de $x$. Además, hemos $$ (\lambda I -x)^{-1} = \sum_{k \geq 0} \lambda^{-k-1} x^k. $$

Pero tenemos $\phi \left( \phi(a)I -a \right) = 0$, lo cual está en contradicción con el hecho de que $\phi(a) I - a$ es invertible. Llegamos a la conclusión de que $\lvert \phi(x) \rvert \leq \lVert x \rVert$$\lVert \phi \rVert \leq 1$. En el último puesto $\lvert \phi(I) \rvert = 1$ debemos tener $\lVert \phi \rVert = 1$.