Ejemplo explícito de funcional lineal no constante $f: \mathbb R \to \mathbb Q$ ?

Question

Recordemos que $V=\mathbb R$ es un espacio vectorial de dimensión incontable sobre $\mathbb Q$ como espacio vectorial de dimensión contable sobre $\mathbb Q$ es a su vez contable.

¿Existe algún ejemplo explícito de un funcional lineal no constante $f: \mathbb R \to \mathbb Q$ ?

La existencia de este tipo de funcional lineal es casi trivial, pero ¿podemos dar un ejemplo explícito de este tipo de funcional lineal? $1$ -forma? También está claro que bajo topología usual tal mapa $f$ no puede ser continua ya que $\mathbb Q$ está totalmente desconectado.

Answer 1

No - la construcción de un funcional no constante $\mathbb{R}\to\mathbb{Q}$ se basa en el axioma de elección, y según la página de wikipedia sobre mapas lineales discontinuos Existen modelos de teoría de conjuntos sin elección (el modelo de Solovay es un ejemplo) en los que no hay discontinuidad. $\mathbb{Q}$ -mapas lineales $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mucho menos $\mathbb{R}\to \mathbb{Q}$ .