Demostrando gran oh por la notación con la plena expresión de poder

Question

Estoy tratando de probar que:

$(n^2 + 1)^{10}$ $O(n^{20})$

pero yo no soy capaz de averiguar cómo puedo probar con plena expresión de potencia. Alguna sugerencia?

Answer 1

Tenemos que

$$(n^2+1)^{10}\le (2n^2)^{10}=2^{10}n^{20}.$$ Que es,

$$(n^2+1)^{10}\le 2^{10}n^{20}.$$ Mus

$$(n^2+1)^{10}=O(n^{20}).$$

Answer 2

Tenemos:$$\dfrac{\left(n^2+1\right)^{10}}{n^{20}} = \left(\dfrac{n^2+1}{n^2}\right)^{10} \leq 2^{10} = C$$

Answer 3

Simplemente con equivalentes y análisis asintótico:

$n^2 + 1\sim_\infty n^2$, por lo tanto $(n^2 + 1)^{10}\sim_\infty n^{20}$, por lo tanto $(n^2 + 1)^{10}=\substack{\textstyle O\\n\to\infty}\bigl(n^{20}\bigr)$.