Media geométrica frente a media aritmética en el caso general

Question

¿Se mantiene lo siguiente? ¿Problema conocido?

Para cualquier $a \in (0, 1), p, q \in [0, 1]$ ,

$$ p^aq^{1 - a} \leq ap + (1 -a)q. $$

Cuando $a = 1/2$ Esto se mantiene y es un problema muy famoso, pero ¿qué pasa con $a \in (0, 1)$ ¿en general?

Answer 1

Podemos reescribirlo como $$a\ln p+(1-a)\ln q\le\ln\left(ap+(1-a)q\right)$$ o $$af(p)+(1-a)f(q)\le f\left(ap+(1-a)q\right)\tag1$$ para $f(x)=\ln x$ . Una función $g$ en un intervalo $I$ para lo cual $$ag(p)+(1-a)g(q)\ge g\left(ap+(1-a)q\right)\tag2$$ $(2)$ es válida para todos los $p$ , $q\in I$ y $a\in[0,1]$ se llama convexo . Una condición suficiente para la convexidad es que $g''(x)\ge0$ . Aquí la desigualdad va en sentido contrario, por lo que (1) dice que $-f$ es convexo, o decimos que $f$ es cóncavo . Como $-f''(x)=1/x^2$ esto es cierto.

La desigualdad de Jensen extiende esto a varios sumandos: $$\sum_{i=1}^n a_i g(p_i)\ge g\left(\sum_{i=1}^n a_i p_i\right)$$ cuando $g$ es convexo en un intervalo $I$ , $p_i\in I$ , $a_i\ge0$ y $\sum a_i=1$ . Un caso es la desigualdad AM/GM ponderada $$p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}\le a_ip_1+\cdots+a_np_n$$ para $p_i>0$ y $a_i$ que satisface las condiciones anteriores.

Answer 2

Para una comprensión intuitiva de la relación entre el ponderado AM-GM desigualdad y la "simple" AM-GM, consideremos el caso de la racionalidad $a=\frac{m}{n} \in (0,1)$ para que $m,n \in \mathbb{N} \,\mid \,0 \lt m \lt n\,$ donde la desigualdad AM-GM ponderada puede derivarse de AM-GM de forma muy elemental:

$$ \begin{align} ap + (1 -a)q = \frac{m \,p + (n-m)\,q}{n} \,&=\, \frac{\overbrace{p+p+\cdots+p}^{m\;\text{times}} \;+\; \overbrace{q+q+\cdots q}^{n-m \;\text{times}}}{n} \\[5px] &\ge\; \sqrt[n]{\smash[b]{\underbrace{p \cdot p \,\cdots\, p}_{m\;\text{times}} \,\cdot\, \underbrace{q\cdot q \cdots q}_{n-m \;\text{times}}}} = p^{\frac{m}{n}}\, q^{\frac{n-m}{n}}=p^a\,q^{1-a} \end{align} $$

Obsérvese que la desigualdad se mantiene para cualquier $p, q \ge 0\,$ no restringido a $p,q \in [0,1]$ .