Relación entre la matriz Positiva definida y estrictamente convexa de la función

Question

Tengo un problema. De wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix cualquier función puede ser escrito como $$z^TMz$$ donde z es un vector columna y M es simétrica real de la matriz. Sin embargo, esta función cuadrática es estrictamente convexa sólo cuando M es simétrica positiva definida. Por qué ?, Pensé que cualquier quadatic función debe ser convexo ? no $$z^TMz$$ >0 sólo muestra que el rango de esta función es mayor que cero? 1. Por qué no es simétrica la matriz M(lo que representa una función cuadrática) convexo ?

1. ¿Por qué es sólo el caso de al $$z^TMz$$ denota convexo ?

Gracias

Answer 1

ACTUALIZACIÓN: Como se señaló en los comentarios de @Erik, la certeza positiva es una condición suficiente para la estricta convexidad. Sin embargo, en estos casos, la certeza positiva es, de hecho, implica directamente desde la segunda derivada es positiva y definitiva de la matriz.

RESPUESTA ANTERIOR: Para cualquier dos veces derivable la función es estrictamente convexa si y sólo si la matriz Hessiana es positiva definida. Usted puede encontrar en cualquier libro de texto estándar sobre optimización convexa. Ahora aquí la función es $z^TMz$, lo que claramente es dos veces diferenciable (en virtud de ser cuadrática). Ahora el de Hesse de esta función es $M$ (favor de verificar personalmente, me ayudó mucho para memorizarlo). Por lo $M$ debe ser positiva definida para que la función cuadrática a ser convexo.