¿Cómo se puede demostrar esta desigualdad?

Question

Deje $n \in \mathbb{N}^*$ $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$ ' tal que $0\le x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n$, e $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n=1$, muestran que: $$(1+x_1^21^2)(1+x_2^22^2)\cdots(1+x_n^2n^2)\ge \frac{2n^2+9n+1}{6n}$$

No tengo idea de cómo podría solucionar esto. He tratado de manipular la desigualdad usando la desigualdad de la aritmética y la media geométrica pero me llevó a ninguna parte. Estoy muy interesado en la solución de este problema. Alguna idea?

Answer 1

Considere dos términos adyacentes en el producto, y el uso de $x=x_j,y=x_{j+1}$ para la notación. El no decreciente de la desigualdad, a continuación, da la restricción $x \le y$ y existe un entero positivo $a=j^2$, de modo que la contribución al producto de la $j$ $j+1$ términos $$(1+a^2x^2)(1+(a+1)^2y^2). \tag{1}$$ Ahora si inicialmente $x+y=k$ sólo nos disminución (o mantener el mismo) este plazo de dos productos mediante la sustitución de $x,y$$k/2$, y nota que ya que inicialmente $x \le y$ esta sustitución se ha incrementado (o el mismo) $x$, mientras que la disminución (o de mantenimiento de la misma) $y$, y para el reemplazo es consistente con la no decreciente de la desigualdad entre los $x_j$'s. También está claro que, si $x\neq y$ eran verdaderos inicialmente, el sustituido contribución sería estrictamente menor que el producto inicial $(1).$

Este argumento muestra que (como Greg Martin sugirió) el valor mínimo de la expresión se produce cuando todas las $x_j$ $1/n.$ Si $p(n)=(2n^2+9n+1)/(6n)$ $q(n)$ es el valor del producto cuando cada una de las $x_j=1/n,$$p(1)=q(1)=2,$, de modo que para general $n$ el mínimo límite inferior de $p(n)$ pasa a ser exacto en $n=1$. Para mayor $n$ es menos de $q(n)$, y tiene que ser revisado por la mano de $n \le 4$, por lo que $q(2)-p(2)=1/4,$ $q(3)-p(3)=53/81,$ y, finalmente, $q(4)-p(4)=655/512.$ [puede ser una forma inteligente de ver que en general $q(n)>p(n)$ pero yo no lo veo.]

Tan pronto como $n \ge 5$ podemos usar el hecho de que $1/n$ veces el logaritmo del producto es un derecho-extremo de la suma de la integral $$\int_0^1 \log(1+x^2)\ dx = c= \log 2+(\pi-4)/2.$$ Luego de $(1/n)\cdot \log q(n) \ge c$ obtenemos $q(n) \ge e^{cn}.$ a Pesar de que yo no hice esta última parte con cuidado, parece que para $n \ge 5$ tenemos $e^{cn} >p(n)$ como se requiere. El lado izquierdo de aquí debe sin duda a superar a la de la derecha, ya que la exponencial con $e^c \approx 1.302.$ me imagino que la razón de la integral obligado no está apretado para $n<5$ es debido al exceso de error se produce en la sustitución de la suma por la integral.

EDITAR (a sugerencia de la OP BarbuDorel en un comentario). Una vez acordado el mínimo del producto se produce cuando todas las $x_j$ $1/n$ el producto se convierte en $$(1+(1/n)^2)(1+(2/n)^2)\cdots (1+(n/n)^2).$$ Este es, claramente, al menos $1$, más la suma de los cuadrados de los términos que se producen como segunda términos en los factores. Pero $$1+(1/n)^2+(2/n)^2+\cdots+(n/n)^2=\frac{2n^2+9n+1}{6n},$$ en la aplicación de la fórmula para la suma de los primeros a $n$ plazas. Así que no hay necesidad de considerar las integrales como lo hice anteriormente. [Todavía queda algo de trabajo para justificar la sustitución del producto de dos adyacentes factores de $(1)$ por el producto obtenido en la sustitución adyacentes $x_j$ por su promedio. Voy a añadir que si puedo conseguir un simple argumento.

Un enfoque más sencillo. Tenga en cuenta que el producto está acotado abajo por la suma $$S=1+x_1^2+2^2x_2+\cdots + n^2x_n^2.$$ As noted above, if we can show this sum is minimal when all the $x_j$ are equal, the inequality follows. The argument for this goes similarly to before, looking at two adjacent terms, but the math is easier. Suppose the adjacent terms contribute $ax^2+^2$ [where $0<a<b$] to the sum, and that initially $x<y$. Then if initially $x+y=k$ we have $x<k/2$. Ahora considere la posibilidad de $$ax^2+b(k-x)^2=(a+b)x^2 -2bkx+bk^2.$$ El gráfico de esta es una parábola de apertura hacia arriba, con su vértice en $x=bk/(a+b)>k/2,$ donde éste sigue de$0<a<b.$, por Lo que desde nuestro punto inicial de $x$ satisface $x<k/2$ vemos que el valor de $ax^2+by^2$ es estrictamente disminuyó cuando reemplazamos cada una de las $x,y$ por el promedio de $(x+y)/2.$

Ahora ya está claro que las restricciones en la $x_k$ definir un compacto de la región acotada en $n$ espacio, la función de $S$ debe tener un mínimo, y el argumento anterior muestra este mínimo puede ocurrir en cualquier punto en el que cualquiera de los dos de la $x_j$ no son iguales. Conclusión: en el minimal $S$ todos los $x_j$ son iguales, y en general la desigualdad se sigue de que, como acabo de describir.