Demostrando que el grupo Klein 4 es abeliano

Question

Si $f = \{ (1), (12)(34), (14)(23), (13)(24) \}$, que es el grupo de Klein 4, ¿cómo puedo demostrar que es un grupo Abeliano? ¿Solo debo mostrar que cada elemento en $f$ es conmutativo para probar esto?

Answer 1

Sea $G$ un grupo no abeliano. Entonces $ab\ne ba$ para algunos $a, b \in G$. Entonces claramente $a\ne 1$ y $b\ne 1$ y $a\ne b$. También $ab\notin\{1,a,b\}$ y $ba\notin\{1,a,b\}$. Eso ya hace cinco elementos distintos $1,a,b,ab,ba$.

Answer 2

No necesitas demostrarlo para este grupo en particular, porque todos los grupos de 4 elementos son abelianos, puedes demostrarlo de la siguiente manera:

Supongamos que para todo $a\in G$, tenemos que $a^2=1$, o equivalentemente $a=a^{-1}$, entonces el grupo es abeliano:

$$(ab)=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$$

Si nuestra suposición no es cierta, entonces existe un elemento $a$ tal que $a^2\neq 1$ diferente de $1$, y el grupo generado por este elemento, por el teorema de Lagrange, debe tener orden $4$, por lo que $\langle a\rangle=G$, por lo tanto el grupo es cíclico y abeliano.

Answer 3

Solo hay $4$ elementos, así que simplemente verifica a mano que $ab = ba$ para cualquier $a, b$. Es verdad automáticamente si ya sea que $a$ o $b$ sea $1$, por lo que en realidad solo hay tres pares para verificar.

Answer 4

Este es un enfoque ligeramente menos directo (uno que probablemente no se te ocurriría si estuvieras intentando un problema como este por primera vez) - pero espero que tú (o otros) encuentren esta solución alternativa instructiva.

Teorema: Sea $G$ un grupo tal que cada elemento de $G$ que no sea la identidad tiene orden $2$. Entonces $G$ es abeliano.

Prueba: Sean $x$ e $y$ dos elementos cualesquiera de $G$. Entonces debemos mostrar que $xy=yx$. Escribiré $e$ para indicar el elemento identidad. $$e=(xy)^2=xyxy$$ $$x^{-1}=x^{-1}e=x^{-1}xyxy=yxy$$ $$y^{-1}x^{-1}=y^{-1}yxy=xy$$ Ahora observa que como $x$ e $y$ tienen orden $2$, $x=x^{-1}$ e $y=y^{-1}$, por lo que $yx=xy$.

Te dejo a ti verificar que los elementos no identidad del grupo en cuestión tienen orden $2$.