Comprensión del indicador (definición)

Question

La pregunta es motivado desde el siguiente ejercicio:

Demostrar que $$\lim_{m\to \infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{m}{m^2+n^2}=\int_{0}^\infty\frac{1}{1+x^2}$$

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La reescritura de la serie en el lado izquierdo, tenemos $$\sum_{n=1}^\infty\frac{m}{m^2+n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+(n/m)^2}\frac{1}{m}$$ Si vemos esto como una "suma de Riemann" de la mano derecha, entonces hemos terminado. El problema es que la suma de Riemann no está definido para el impropias integrales.

Aquí está mi pregunta:

Puede impropia integral definida por el límite de una suma de Riemann?

Answer 1

Esto es sólo la definición de impropia de Riemann de la integración:

$$\int_{0}^\infty \frac{1}{1+x^2}\ dx:=\lim_{a \to \infty}\int_{0}^a \frac{1}{1+x^2}\ dx$$

luego deformar el lado derecho de la integral definida en el límite de la suma de Riemann y encontrarás la respuesta.

Más específicamente, deje $f(\cdot)$ definido en $(0,\infty)$ puede ser integrado en el sentido de la indebida integración de Riemann, entonces $$\int_0^\infty f(x)\ dx=\lim_{N \to \infty}\int_0^N f(x)\ dx=\lim_{n,N\to \infty}\sum_{t=1}^{Nn}{1 \over n}f\bigg({t \over n}\bigg)$$ donde el último término puede ser evaluado por $\lim_{n \to \infty}\sum_{t=1}^{\infty}{1 \over n}f\bigg({t \over n}\bigg)$ desde el siguiente argumento:

Deje $a:=\lim_{n,N\to \infty}\sum_{t=1}^{Nn}{1 \over n}f\bigg({t \over n}\bigg), b:=\lim_{n \to \infty}\sum_{t=1}^{\infty}{1 \over n}f\bigg({t \over n}\bigg)$, luego \begin{equation*} $$\begin{split} |a-b| &\leq \bigg|a-\sum_{t=1}^{Nn}{1 \over n}f\bigg({t \over n}\bigg)\bigg|+\bigg|\sum_{t=1}^{Nn}{1 \over n}f\bigg({t \over n}\bigg)-b\bigg| \end{split}$$ \end{ecuación*} por que $|a-b|$ puede ser tan pequeño como queramos dónde $a=b$.