Pregunta : Para el cual funciones completas $h(z)$ ¿existe una función completa $f(z)$ de tal manera que $h(z)=f(z+1)-f(z)$ ?
Lo que he intentado :
Supongamos que $f: \mathbb {C} \to\mathbb {C}$ es una función completa, y dejar $ \displaystyle f(z)= \sum_ {n=0}^ \infty a_nz^n$ sea su expansión de la serie de Taylor. Luego $$ \displaystyle f(z+1)= \sum_ {n=0}^ \infty a_n \sum_ {i=0}^n \binom {n}{i}z^i= \sum_ {n=0}^ \infty z^n \left [ \sum_ {j=n}^ \infty a_j \binom {j}{n} \right ].$$
Por lo tanto $$f(z+1)-f(z)= \sum_ {n=0}^ \infty z^n \left [ \sum_ {j=n+1}^ \infty a_j \binom {j}{n} \right ].$$
Para $\{a_n\} \in\mathbb {C}^ \infty $ define $c_n= \displaystyle\sum_ {j=n+1}^ \infty a_j \binom {j}{n}$ si esta secuencia converge. Si $\{a_n\}$ es una secuencia para la cual cada $c_n$ converge, y luego define $ \Pi (\{a_n\})=\{c_n\}$ .
Dejemos que $ \mathscr {H}$ denotan la colección de todas las secuencias de números complejos $\{a_n\}$ de tal manera que $ \Pi (\{a_n\})$ está bien definido. Deje que $ \mathscr {H}_e$ denotan la colección de secuencias de tal manera que $ \displaystyle\sum_ {n=0}^ \infty a_nz^n$ tiene un radio de convergencia infinito. No es difícil ver en el trabajo anterior que $ \mathscr {H}_e \subset\mathscr {H}$ . Deje que $ \mathscr {H}_0 \subset\mathscr {H}_e$ ser la colección de secuencias finitas (es decir, las correspondientes a los polinomios).
Sé que $ \Pi : \mathscr {H}_0 \to\mathscr {H}_0$ es surjectiva. Quiero saber qué $ \Pi ( \mathscr {H}_e)$ es (ahora sé que $ \Pi : \mathscr {H}_e \to\mathscr {H}_e$ no es subjetiva, como se señala en mi comentario más adelante).
Pregunta extra : Si nos modificamos $ \mathscr {H}$ por la relación $\{a_n\} \sim\ {b_n\}$ si y sólo si $a_k=b_k$ para cada uno $k>0$ Entonces $ \Pi : \mathscr {H}_0 \to\mathscr {H}_0$ es inyectable. Es $ \Pi : \mathscr {H} \to\mathscr {H}$ inyectada cuando se modifique de forma similar?
