El concepto de "con el tiempo casi seguramente" como un artefacto de medida de la teoría de los axiomas?

Question

Esta es una pregunta seria, a pesar de título provocativo. Desde que me enteré de Cox del teorema, tengo muy entusiasta acerca de un enfoque alternativo para la formalización de la teoría de la probabilidad y comencé a pensar acerca de cuáles son las consecuencias de nuestra medida estándar de la teoría de la escuela.

Esto me lleva a Borel–Cantelli lema y su capacidad para mostrar que una secuencia de eventos se detendrá pasando, casi seguramente, a condición de que sus probabilidades son summable.

Bonito teórica resultado, pero los practicantes de aplicar probabilidad hincapié en la importancia de que en realidad el control de la velocidad de convergencia. En otras palabras, el hecho de que un evento dejará sucediendo no nos dicen cómo lejos de la secuencia tenemos que ir para que el resultado sea verdadero: $1, 5, \dots, $ Graham' número.

Por lo que, aunque no voy a negar la validez de Borel-Cantelli, sólo quiero saber si el énfasis en la importancia de la casi-seguro de convergencia está fuera de lugar y más matemáticos deben esforzarse para controlar la inmediata de la tasa de convergencia en lugar de mostrar que la tasa de convergencia es , finalmente, dominado por un summable secuencia.

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Respuesta 1: no se Puede decir lo mismo acerca de la convergencia de la secuencia?

No, muchas pruebas he visto construir $N_{\varepsilon}$ cualquier $\varepsilon > 0$ en una prueba de convergencia, por lo que la tasa de convergencia no es difícil de extraer. También el concepto de convergencia uniforme nos ayuda a controlar la velocidad.

Respuesta 2:los matemáticos Puros no deben preocuparse acerca de las aplicaciones inmediatas de sus resultados, de modo que tu pregunta está mal dirigida.

En efecto, pero lo que si hay una fuerte tendencia a la atención acerca de un determinado conjunto de problemas como consecuencia de axiomatising la teoría de la probabilidad? Había empezamos con la Cox enfoque de cambio, se proposiciones como "En esta secuencia de eventos, los eventos se detendrá sucediendo, finalmente," como mucho la atención?

Respuesta 3: el Trato con los infinitos suelen conducir a resultados inesperados, que a menudo, en retrospectiva, se muestra para ser útil mucho más tarde.

Después de muchos años desde la aceptación de la medida-la teoría subyacente a los axiomas, no deberíamos empezar a mirar qué tipo de cosas útiles, salió de ella y preguntarse si nuestros axiomas, de hecho, fueron conductora útil a la investigación?

Answer 1

El error aquí es decir que $\mathcal S=\left\{ w : |\{n : S_n(w) > \sqrt{2 n \log \log n}\}| = \infty \right\}$ es en la mayoría de los contables. Como contraejemplo, considerar el conjunto $\mathcal S'$ de todos los números reales en $(0\,,1)$ binario cuya expansión es $0.0^{n(0)}1^{n(1)}0^{n(2)}1^{n(3)}0^{n(4)}...$ , en el que una cadena de $n(0)$ $0$s es seguido por $n(1)$ $1$s, seguido por $n(2)$ $0$s, y así sucesivamente, donde $n(k)=2^{m(k)}$ ($k=0,1,...$) y $\left(m(0),m(1),...\right)$ es estrictamente creciente de la secuencia de los números naturales. A continuación,$\mathcal S'\subset\mathcal S$, pero $|\mathcal S'|=\mathfrak c$.

Answer 2

Me inclino a creer que la respuesta a mi propia pregunta: "en Concepto de "a la larga casi seguramente" como un artefacto de medida de la teoría de los axiomas?", es que sí. Y voy a tratar de trabajar a través de un ejemplo claro de demostrarlo.

Comience con la Ley del logaritmo iterado de la moneda y tirar. Un ejemplo del resultado de un experimento es sólo una "cadena"

$01011101010101\dots$

Cada cadena puede también ser precedido por $0.$, por lo que cada cadena puede ser el pensamiento de un número real en $[0, 1]$, expresado en binario. Dado que la probabilidad de cualquier resultado que se de la igualdad de probabilidades, podemos introducir un espacio de probabilidad: $([0, 1], \mathcal{B}([0, 1]), P)$ donde $P$ es sólo el Lebesgue-medida en $[0, 1]$.

Entonces, ¿qué hace la Ley del logaritmo iterado decir?

$$P(\left\{ w : |\{n : S_n(w) > \sqrt{2 n \log \log n}\}| = \infty \right\}) = 0.$$

Por lo tanto $\left\{ w : |\{n : S_n(w) > \sqrt{2 n \log \log n}\}| = \infty \right\}$ tiene medida de Lebesgue $0$ (también puede ser demostrado que es incontable): y esa es la esencia de la finalmente, casi sin duda, resultado.

En este escenario (y, quizás, en muchos otros), podemos reformular la pregunta:

¿La medida de Lebesgue de un conjunto de números en $[0, 1]$ con un binario específico de expansión igual a $0$?

Parece que después de tomar el número de lanzamientos, $n$, a $\infty$, estamos operando en el conjunto de resultados directamente, en lugar de funcionar con el siguiente consejo de Gauss en mente:

El infinito es simplemente una figura de discurso, el verdadero significado de ser un límite.

Es quizás por esta razón me resulta difícil relacionar las propiedades de ciertos conjuntos de Borel en el intervalo de $[0, 1]$ con el problema original acerca de la moneda sacudir: se parece más a una fuga en la abstracción de axiomatising más que un problema fundamental para tirar la moneda.

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Yo a la conclusión de que mis propias dudas acerca de la viabilidad de una.s. resultados resultó ser una disfrazado de consulta acerca de la amplia aceptación de Cantor argumentos: debemos esta idea para lidiar con los infinitos directamente a él y que debo tomar mis investigaciones en esta dirección.