Fácil la prueba de la suma de cuadrados de $\approx n^3/3$

Question

Me gustaría probar a mi (grado, no de matemáticas-importante) de los estudiantes que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2 =\frac{1}{3}, $$ para luego mostrarles que esto puede interpretarse como una toma de sumas de Riemann para la integral de $x^2$. Por supuesto, pude sacar de mi sombrero de la fórmula $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, lo que hace evidente, o empezar a partir de la suma telescópica $$\sum_{k=1}^n (k(k+1)^3-k^3) $$ y hacer algo de álgebra. Ninguno de ellos suena muy convincente para mí, ya que serán las nuevas ideas para ellos, no para de inmediato a agarrar, y este no debe ser el punto central de mi conferencia.

Hay una forma más simple para trabajar fuera de este límite, sin pasar a través de una prueba para el valor de la suma?

Answer 1

${ }$

Answer 2

El límite es adecuado para Stolz-Cesaro: $$ \lim_{n\to\infty}{1^2+2^2+\cdots+n^2\más de n^3}= \lim_{n\to\infty}{(n+1)^2\(n+1)^3-n^3}= \lim_{n\to\infty}{n^2+2n+1\sobre 3n^2+3n+1}={1\over 3}. $$ De hecho, repitiendo el truco con $\sum_{k=1}^n k^2 -\frac{n^3}{3}$, se puede calcular el coeficiente de $n^2$ $\sum_{k=1}^n k^2$ ... hasta que el pleno de la fórmula.

Answer 3

Hay un par de maneras de hacer que este límite parece intuitivo. La suma de los cuadrados puede ser interpretado como una pirámide cuadrada; el volumen de una pirámide es de aproximadamente $\frac{1}3 n^{3}$.

Otro método podría ser simplemente calcular algunas de las sumas parciales. Por ejemplo,
$$\frac{\sum_{k=1}^{10}k^{2}}{10^{3}}=0.385 \approx 1/3$$

Answer 4

\begin{align*} 2\sum_{k=1}^n k^2 & = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n(n-k+1)^2 \\ \\ & \approx \sum_{k=1}^n (n-k)^2 - (ik)^2 \\ & = \sum_{k=1}^n (n-(1+i)k)(n+(-i-1)k) \\ & \approx \sum_{k=1}^n(n-ik)^2 \end{align*}

Tomando la parte real

\begin{align*} 2\sum_{k=1}^n k^2 & \approx \sum_{k=1}^nn^2 - \sum_{k=1}^nk^2 \end{align*} y así \begin{align*} \sum_{k=1}^n k^2 & \approx \frac{n^3}{3} \end{align*}