Relación de homología de grupos

Question

El local de homología de un colector $X$ a un punto de $x$ se define como la relación de homología $H_n(X, X-{x};\ \mathbb Z)$. Vale para la relación de homología que bajo ciertas condiciones de $H(X,A) = H(X/A)$. Por ejemplo, es satisfecho por superficies lisas como un toro. Pero no significa que $X/(X - \{x\})= x$? Y si es así, el $H_n(X, X-{x})$ es sólo la homología de un punto? Por favor me ayudara a entender los posibles errores en mi pensamiento geométrico.

Answer 1

Las condiciones que se mencionan en orden de $H_n(X,A)=\tilde{H}_n(X/A)$ es que el cierre de $A$ tiene un barrio que la deformación se retrae en a $A$. Esto no es posible en el caso de $A=X\setminus\{x\}$ por razones obvias. Por lo tanto, la condición no se cumple. También, el espacio de $X/(X\setminus\{x\})$ es un espacio topológico con dos puntos de $\{x\}$$X\setminus\{x\}$, y (asumiendo $X$ es un colector) tiene la homeomorphism tipo de la Sierpiński espacio.