Dado $3\cos x - 4 \sin x = 2$ , encontrar $3 \sin x + 4 \cos x$ sin resolver primero para $x$

Question

Si $$3\cos{x}-4\sin{x}=2$$ encontrar $$3\sin{x} +4\cos{x}$$

He resuelto la ecuación de $x$ , luego calculó el valor requerido, pero creo que hay una solución directa sin resolver la ecuación.

Answer 1

$$3\sin x+4\cos x=A$$ $$3\cos x-4\sin x=2$$ $$9\sin^2x+24\sin x\cos x+16\cos^2x=A^2$$ $$9\cos^2x-24\sin x\cos x+16\sin^2x=4$$ añadir ambas ecuaciones $$9+16=A^2+4$$ $$A^2=21$$ $$A=\pm \sqrt{21}$$

Answer 2

Piensa en ello como una ecuación de rotación. Esto equivale a la formulación matricial $$\begin{bmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ y \end{bmatrix}$$ donde y es la incógnita. Como la magnitud de un vector se conserva en la rotación, $2^2 + y^2 = 3^2 + 4^2$ Así que, $y = \pm \sqrt {21}$ .

Answer 3

$$a \cos(x) - b \sin(x) = \sqrt{a^2+b^2} \cos(x+y)$$ donde $\cos(y) = a/\sqrt{a^2+b^2}$ y $\sin(y) = b/\sqrt{a^2 + b^2}$ . Entonces $$a \sin(x) + b \cos(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x+y)$$ En su caso, con $a=3$ y $b=4$ , $\sqrt{a^2+b^2}=5$ , $\cos(x+y) = 2/5$ así que $\sin(x+y) = \pm \sqrt{1-(2/5)^2} = \pm \sqrt{21}/5$ , por lo que la respuesta es $\pm \sqrt{21}$ .

Answer 4

Esto es realmente lo mismo que el método de Aid78.

$$(3+4i)e^{ix}=(3\cos x-4\sin x)+i(3\sin x+4\cos x) =2+iA$$ para $A=3\sin x+4\cos x$ . Como $|(3+4i)e^{ix}|^2=3^2+4^2=25$ entonces $25=4+A^2$ Así que $A=\pm\sqrt{21}$ (ambos son posibles).

Answer 5

Una pista:

Utilizando Identidad Brahmagupta-Fibonacci , $$(a\cos x-b\sin x)^2+(a\sin x+b\cos x)^2=(a^2+b^2)(\cos^2x+\sin^2x)=?$$