¿Es correcta esta prueba mía sobre los números primos?

Question

Tengo que demostrar lo siguiente en el libro de texto:

Demostrar que si $p_1, p_2, \ldots p_n$ son números primos distintos con $p_1 = 2$ y $n > 1$ entonces $p_1 \cdot p_2 \ldots p_n +1$ puede escribirse de la forma $4k+3$ para algún número entero $k$ .

Mi enfoque es el siguiente:

A partir del teorema del cociente-resto, sabemos que $p_1 \cdot p_2 \ldots p_n +1$ tiene que ser de una de las siguientes formas:

1) $4k$

2) $4k + 1$

3) $4k + 2$

4) $4k + 3$

Ahora bien, como $p_1 = 2$ tenemos un número de la forma $2r+1$ lo que descarta las opciones 1) y 3). Si se compara la opción 2) con el número dado, se obtiene un factor común de 4, lo que no es posible si todos los números son primos. Por tanto, sólo nos queda la opción 4).

¿Es correcto este razonamiento o me he adelantado a los acontecimientos?

Answer 1

El $p_i$ con $i>1$ son todos de impar, por lo que su producto $p_2\dots p_n$ es impar, digamos $2r+1$ . Entonces $p_1\cdot(p_2\dots p_n)+1=2(2r+1)+1=4r+3$ .