Si definimos el número de $e$ $$e:=\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^n$$ then the only way I know to prove the derivatives of $e^x$ and it's inverse is to write $$\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}={1\over h}\ln\frac{x+h}{x}=\ln\left[\left(1+{h\over x}\right)^{1/h}\right]$$ and with some limit manipulations this can be shown to converge as $h\a 0$ to $$\ln(e^{1/x})={1\over x}$$ Now using the formula for the derivative of the inverse, $$\frac{d}{dx}e^x=\frac{1}{1/e^x}=e^x$$ Is there a way to get the derivative of $e^x$ directly from the definition of $e$ dada anteriormente?
Respuesta
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Tomar 1: ¿Está usted familiarizado con el resultado general de que si $f(x)$ es derivable y tiene una inversa $g(x)$,$g'(x)={1\over f'(g(x))}$?
El uso que podemos probar ${d\over dx}e^x=e^x$ como sigue. Deje $f(x)=\ln x:=\int_1^x {1\over t}\,dt$ y deje $g(x):=f^{-1}(x)=e^x$. Ahora $g'(x)={1\over f'(g(x))}$ y $$f'(x)=1/x\implies f'(g(x))={1\over e^x}\implies g'(x)={1\over {1/e^x}}=e^x.$$
(Que no uso su citada definición de $e$, pero se lleva a cabo la tarea. Observe que, haciendo de esta manera que no presuponen ninguna definición para $e^x$ otros de lo que es la función inversa de la $\ln x$.)
Tomar 2:
Considere la posibilidad de $f(x)=a^x$, $a>0$. Entonces $$ f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\sobre h}=\lim_{h\to 0}{a^{x+h}-a^x\sobre h}=\lim_{h\to 0}{a^x(a^h-1)\sobre h}=a^x \lim_{h\to 0}{a^h-1\sobre h}. $$ Queremos encontrar algún valor de $a$ tal que $(a^x)'=a^x$, es decir,$\lim_{h\to 0}{a^h-1\over h}=1$. Una manera de definir el número de $e$ es que es el único número que el último límite se mantiene. Por lo tanto, $(e^x)'=e^x\cdot 1=e^x$.
Tomar 3: $$e:=\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^n\implies e^x=\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^n\right)^x = \lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^{nx}.\tag{$*$}$$
Si $f(x)=e^x$ (como se define más arriba), entonces $$ f'(x)=\lim_{h\to 0}{e^{x+h}-e^x\sobre h}=e^x\lim_{h\to 0}{e^h-1\sobre h}, $$ y así, con este enfoque, la cuestión se reduce a mostrar que la $$ \lim_{h\to 0}{e^h-1\sobre h}=1 $$ donde---y esta es la clave---estamos trabajando con $e^h$ como se define en $(*)$.
Normalmente, se muestran esto apelando a la serie infinita de definición de $e^x$ y el Teorema del Binomio. Sin embargo, si queremos trabajar de $(*)$, podemos hacer esto:
Deje $n=1/h$ $(*)$ $\displaystyle e=\lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h}\implies e^h\approx 1+h$ al $h\approx 0$. Por lo tanto, $$ \lim_{h\to 0}{e^h-1\sobre h}=\lim_{h\to 0}{(1+h)-1\sobre h}=1. $$
Tomar 4: Un enfoque clásico es definir la función $e^x$ como la solución única para el problema de valor inicial ${dy\over dx}=y$, $y(0)=1$. Por supuesto, la existencia y unicidad de aquí que debe ser probado, no se limitaron a afirmar, pero esto requiere más trabajo de lo que quiero escribir y está disponible en cualquier estándar de referencia en la educación a distancia de la teoría.
