Mostrar que para $n, m \in \omega$, el ordinales y cardinales exponentiations $n^m$

Question

Este es un ejercicio de Kunen del libro.

Mostrar que para $n, m \in \omega$, el ordinales y cardinales exponentiations $n^m$ son iguales.

Lo que he intentado: quiero demostrar, mediante la inducción en $m$. Para $m=0$, el ordinal exponenciación $n^m=n^0=1$ por la definición; y el cardenal de exponenciación $n^m=n^0=|n^0|=1$. Ahora partimos de la base para $m=k$ el caso es correcto. Luego de la $m=k+1$, ordinal exponenciación $n^{k+1}=n^k\times n$ y el cardenal de exponenciación $n^{k+1}=|n^{k+1}|=|n^k\times n|$. Entonces, no sé cómo seguir.

Podría alguien ayudarme? Gracias de antemano:)

Answer 1

En primer lugar demostrar que la adición y la multiplicación también se comportan de la misma con ordinales y cardinales exponenciación al restringir a los números naturales.

Comenzar con, además, que debería ser bastante fácil. A continuación, utilice esto para mostrar que la multiplicación también tiene esta propiedad. Desde allí usted puede usar esto para continuar a partir de donde se quedó atascado.