Un jugador de ajedrez, X, juega una serie de partidos contra un oponente, Y

Question

Un jugador de ajedrez $X$ juega una serie de partidos contra un oponente $Y$. Para cada juego, la probabilidad de que $X$ gana es $p$, independientemente de los resultados de otros juegos. Si $X$ juega 4 partidos contra los $Y$, muestran que la probabilidad de que esta serie de juegos contiene al menos 2 victorias consecutivas por $X$$p^2(3-2p)$.

Sé que esto se puede hacer mediante un listado de todas las maneras posibles y, a continuación, suma de las probabilidades, pero hay otra manera de hacerlo?

Answer 1

Para generalizar, vamos a $p_n$ la probabilidad de que el jugador $1$ gana al menos $2$ juegos al $n$ los juegos son jugados. A continuación, $$ p_n=(1-p)p_{n-1}+(1-p)^2p_{n-2}+p^2, \quad p_2 =p^2, \quad p_3=2p^2-p^3 $$ Desde aquí usted puede encontrar cualquier $p_n$ por recursivamente sustituyendo en la.... como alternativa, una solución exacta se puede encontrar por métodos estándar que resolver la ecuación cúbica, $$ 0=x^3+(p-2)x^2+p(p-1)x+(1-p)^2 $$

Answer 2

Ok, este es el más simple ...

Desea que todos los casos con un "WW" en ellos. por ejemplo, WWLL, WWWL, etc. Vamos a "A" significa ganar o perder Prob(A)=1, por supuesto. Los casos son:

WWAA: $p^2$
LWWA: $(1-p) \times p^2$
ALWW: $(1-p) \times p^2$

$= 3 p^2 -2 p^3$
$= p^2 (3 -2 p)$

Nota - para evitar el recuento de los casos dos veces, hice una lista de los casos haciendo la GUERRA que se mueve de izquierda a derecha, permitiendo que cualquier cosa a la derecha de la WW pero no '2 triunfos consecutivos' a la izquierda de la segunda guerra MUNDIAL.

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Para un mayor número de juegos, este método es mucho mejor que el método básico, por ejemplo, para 6 juegos, la respuesta sería:

WWAAAA: $p^2$
LWWAAA: $(1-p) \times p^2$
ALWWAA: $(1-p) \times p^2$
XXLWWA: $(1-P_2) \times (1-p) \times p^2$
XXXLWW: $(1-P_3) \times (1-p) \times p^2$

donde $P_2 = p^2$ es la probabilidad de tener al menos 2 victorias consecutivas en 2 juegos, y $P_3 = p^2 (2-p)$ es la probabilidad de tener al menos 2 victorias consecutivas en 3 juegos.

$P(6) = 5 p^2 -4 p^3 -3 p^3 +4 p^5 -p^6$

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Las respuestas generales son:

$P_2 = p^2$
$P_3 = 2 p^2 -p^3$
$P_4 = 3 p^2 -2 p^3$
$P_5 = 4 p^2 -3 p^3 -p^4 +p^5$
$P_6 = 5 p^2 -4 p^3 -3 p^4 +4 p^5 -p^6$
$P_7 = 6 p^2 -5 p^3 -6 p^4 +9 p^5 -3 p^6$
$P_8 = 7 p^2 -6 p^3 -10 p^4 +16 p^5 -5 p^6 -2 p^7 +p^8$
$P_9 = 8 p^2 -7 p^3 -15 p^4 +25 p^5 -6 p^6 -9 p^7 +6 p^8 -p^9$
$P_{10} = 9 p^2 -8 p^3 -21 p^4 +36 p^5 -5 p^6 -24 p^7 +18 p^8 -4 p^9$

Hay algunos patrones para los coeficientes de $P_n$ por ejemplo, el $p^2$, $p^3$, $p^4$ los coeficientes, pero no he encontrado un patrón para todos ellos.

Answer 3

Es realmente tedioso?

Los casos son:
4 victorias: $1 \times p^4$
1 pérdida, puede suceder en 4 formas: $4 \times p^3 (1-p)$
2 gana si WWLL o LWWL o LLWW, por lo que puede ocurrir en 3 formas: $3 \times p^2 (1-p)^2$

$p^4 +(4 p^3 -4 p^4) +(3 p^2 -6 p^3 +3 p^4)$
$= -2 p^3 +3 p^2$
$= p^2 (3 -2 p)$