La transformada de Fourier de un espacio de Schwartz de la función y la norma

Question

El espacio de Schwartz (de rápida disminución de funciones) es el conjunto de todos los $C^{\infty}$ funciones $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ tal que $$ x^jf^{(k)}(x) \a 0 $$ para todos los enteros $j,k\geq0$$x \to {\pm\infty}$.

Deje $f$ ser una rápida disminución de la función en el espacio de Schwartz y deje $\mathcal{F}(f)$ su transformada de Fourier. Si $$ \| f \|_2 = \| \mathcal{F}(f) \|_2 \quad, $$ podemos deducir que $\mathcal{F}(f)$ es un Schwartz función?

Answer 1

Usted no necesita sus normas iguales - esto es una consecuencia de la normalización factor elegido para la transformada de Fourier, y es llamado el Teorema de Plancherel.

Para demostrar que la transformada de Fourier de una Schwartz función es la de Schwartz, es suficiente para mostrar lo siguiente:

• $k^\alpha\hat{f}(k)=i^{-\alpha}\mathcal{F}\left[f^{(\alpha)}\right]$
• $\frac{d^\alpha}{dk^\alpha}\hat{f}(k)=(-ik)^\alpha\hat{f}(k)$

Combinar estos dos hechos con la de Riemann-Lebesgue lema y lo tienes.

Nota: estoy usando la siguiente convención para la transformada de Fourier:

$$ \hat{f}(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ikx}dx $$