un autoadjunto en un espacio vectorial complejo

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial complejo, con producto interno hermitiano $<z,w>$ . Dejemos que $T : V V$ sea una transformación lineal. Demuestre que $T$ es autoadjunto si y sólo si $<Tz,z>$ es real para cada $z V$ .

Mi solución es:

En el lado izquierdo: $T$ es autoadjunto $\Leftrightarrow$ $T=T^*$ $\Leftrightarrow$ $T=UAU^*$ donde $UU^*=I$ y A es una matriz diagonal.

En el lado derecho: $<Tz,z>$ es real para cada $z V$ $\Leftrightarrow$ $z'T'\overline{z}$ es real $\Leftrightarrow$ $T=UU^*$ . Así que hay cierta discrepancia entre las dos partes.

¿Puede decirme qué paso está mal?

Answer 1

$\Rightarrow)\quad$ Tenemos para todos $z$

$$\langle Tz,z\rangle=\langle z,T^*z\rangle=\langle z,Tz\rangle=\overline{\langle Tz,z\rangle}$$ así que $\langle Tz,z\rangle$ es real.

$\Leftarrow)\quad$ Desde $\langle Tz,z\rangle$ es real para todos $z$ entonces obtenemos $\langle Sz,z\rangle=0$ donde $S=T-T^*$ . Además, como $S$ es sesgado-hermitiano entonces es diagonalizable y a partir de la igualdad $\langle Sz,z\rangle=0$ vemos que sus valores propios son $0$ así que $S=0$ . Finalmente obtenemos $T=T^*$ .