Declaración: Dejemos que $T \in \mathscr{B}(\mathscr{H})$ , donde $T$ es un operador compacto. Sea $M$ sea un subespacio invariante cerrado de $T$ . Demuestre que la restricción de $T$ a $M$ es compacto.
Intento de prueba: Dejemos que $\{m_n\}_{n=1}^{\infty}$ sea una secuencia acotada en $M$ . Desde $T$ es compacto contiene una subsecuencia convergente $T(m_{n_k}) \rightarrow \mu$ . Ahora bien, desde $M$ es cerrado e invariante bajo $T$ contiene todos sus puntos límite, por lo que $\mu \in M$ . De ahí que seamos compactos.
Q.E.D.
