La clave es probar lo siguiente:
Teorema. Deje $A$ $B$ ser matrices con coeficientes reales. Si $A$ $B$ son similares sobre $\mathbb{C}$, son similares en más de $\mathbb{R}$.
Este problema aparece, entre otros lugares, en Berkeley Problemas en Matemáticas, por de Souza y Nuno Silva (Problema 7.7.10 en la segunda edición; el problema ha sido utilizado muchas veces en el examen Preliminar en Berkeley). El libro ofrece dos respuestas, aunque creo que una de las soluciones (usando la forma canónica racional) es un poco descuidado.
Aquí está el otro enfoque. Suponga $A = UBU^{-1}$, $U$ una matriz compleja. Escribir $U=K+iL$ donde $K$ $L$ son reales matrices, y se supone que $L\neq 0$. Entonces
$$A(K+iL) = AU = UB = (K+iL)B$$
y así las partes real e imaginaria de estas matrices son iguales. Es decir, $AK = KB$ $AL = LB$ (el problema es que no sabemos que $K$, por sí mismo, es invertible).
Ahora, para cualquier número complejo a $z$ tenemos $A(K+zL) = (K+zL)B$. Deje $p(z) = \det(K+zL)$. Demostrar que $p$ no es idénticamente cero, y tomar un número real que no es una raíz.
Una vez que usted tiene de este teorema, su observación de que $A$ $B$ son similares sobre $\mathbb{C}$ implica que el resultado que usted desea.
(Para lo que vale, el otro argumento dado por el libro es que el Racional de las formas canónicas de $A$ $B$ tiene que ser el mismo, ya que son los mismos de más de $\mathbb{C}$, y por lo $A$ $B$ son similares sobre $\mathbb{R}$; la razón de esto es descuidado es que la forma canónica racional se define generalmente, por la singularidad de los efectos, en términos de la irreductible factores de la mínima/característica polinomios, y la racional bloques compañero de matrices de competencias de estos factores irreducibles. Pero la irreductible factores sobre los $\mathbb{R}$ no son necesariamente la misma que la irreductible factores sobre los $\mathbb{C}$, por lo que la "unicidad" de la forma canónica racional no se aplica directamente; un argumento debe ser hecho de que la igualdad más del $\mathbb{C}$ implica una igualdad cuando la irreductible factores se toman más de $\mathbb{R}$ en su lugar, y este argumento es el que falta en el libro).
